Шаблоны диаграмм рассеяния

Графические методы исследования систем управления

Графические методы исследования систем управления часто предполагают использование различных диаграмм в качестве инструмента изучения явления.

Диаграмма Ишикавы

Диаграмма Ишикавы – инструмент, позволяющий выявить отношение между конечным результатом (следствием) и воздействующими на него факторами (причинами) путем их упорядочения и демонстрации связи между ними и факторами и конечным результатом.

Построение диаграммы Ишикавы

Целью построения диаграммы Ишикавы является выявление эффективного способа решения поставленного вопроса. Факторы разделяются на обобщенные, комплексные и единичные. На диаграмме причинные факторы первого порядка изображаются большими наклонными линиями, а второго, третьего и т.д. – малыми наклонными линиями.

Пример диаграммы Ишикавы

Пример диаграммы Ишикавы для анализа неточности измерений приведен на рисунке:

Диаграмма Парето

Диаграмма Парето – это разновидность столбчатой диаграммы, применяемой для наглядного отображения рассматриваемых факторов в порядке уменьшения их значимости.

Поиск решения проблем

Поиск решения проблем начинают с их разделения по отдельным факторам (проблемы, относящиеся к финансовым; проблемы, относящиеся к браку; проблемы, относящиеся к работе оборудования или исполнителей и т. д.), сбора и анализа данных отдельно по группам проблем.

Пример упрощенной диаграммы Парето

Пример упрощенной причинно-следственной диаграммы:

• Причина 1
• Причина 2
• Причина 3

Для построения диаграммы Парето устанавливается метод и период сбора данных. Например, нам необходимо исследовать дефектные изделия в течение одного месяца. В данном контролируемом изделии встречается какое-то количество различных дефектов.

Как строить диаграмму Парето

Наиболее целесообразным будет классификация данных по типам дефектов. Далее разрабатывается контрольный листок для регистрации данных с перечнем видов собираемой информации. В нем предусматривается место для графической регистрации данных.

## Данные для построения диаграммы

| Анализируемые факторы | Абсолютные данные | Суммарное число факторов | Процентное соотношение | Кумулятивная сумма |
|------------------------|-------------------|-------------------------|------------------------|---------------------|
| Трещины                | /////              | /////                   | /////                   | /////              |
| ...                    | ...               | ...                     | ...                    | ...                |

## Контрольный листок регистрации данных

Типы дефектов | Группы данных | Итого
--------------|--------------|------
Трещины       | ...          | 10

## Данные для построения диаграммы Парето

| Типы дефектов | Число дефектов | Накопленная сумма числа дефектов | Процент числа дефектов по каждому признаку в общей сумме | Накопленный процент |
|--------------|---------------|----------------------------------|----------------------------------------------------------|----------------------|
| ...          | ...           | ...                              | ...                                                      | ...                  |


## Построение диаграммы Парето

Для построения диаграммы Парето необходимо следовать указанным шагам:
1. Откладывать данные графы 1 на оси абсцисс
2. Откладывать данные графы 2 на оси ординат
3. Строить столбчатый график
4. Откладывать значения кумулятивного процента на правой стороне графика

Кривая кумулятивной суммы носит название кривой Лоренца, а полученный график - диаграмма Парето.

## Диаграмма Парето по типам дефектов

1. Деформация
2. Царапины
3. Раковины
4. Трещины
5. Пятна
6. Разрыв
7. Прочие

## Форма для фиксации данных

**Ф.И.О, должность контролера:** 

Затраты на доработку: 
Итоговая сумма потерь: 

## Достоинства диаграммы Парето

- Позволяет разгруппировать факторы на значительные и незначительные

Метод анализа для контроля важнейших факторов: диаграмма Парето

Наиболее распространенным методом анализа для контроля важнейших факторов при использовании диаграммы Парето является так называемый АВС-анализ.

АВС-анализ

Суть его сводится к тому, что из всех типов дефектов выделяют группы дефектов по суммарному проценту брака. Так, если кумулятивная сумма брака составляет от 70 до 75% – это группа А. Выделяют группу дефектов от 5 до 10% – группа С. Тогда все остальные промежуточные типы дефектов следует отнести к группе В.

Выделение значимых дефектов

Классификация всех дефектов на группы А, В и С позволит выделить наиболее значимые дефекты, для которых нужно устанавливать меры по предупреждению.

Применение в различных сферах

Для выявления деталей, наиболее склонных к определенным типам дефектов (группа А), необходимо аналогично построить диаграмму Парето для различных деталей.

Контроль деталей

Проводить контроль всех деталей одинаково, без всякого различия, очевидно, не эффективно. Если же детали разделить на группы, допустим по их стоимости, то на долю группы наиболее дорогих деталей, составляющих 20–30% от общего числа хранящихся на складе деталей, придется 70–80% от общей стоимости деталей.

Затраты на доработку

Затраты на доработку определяются следующим образом: для каждой детали время, необходимое на доработку, умножается на затраты на эту доработку.

Применение с причинно-следственной диаграммой

Диаграмму Парето целесообразно применять вместе с причинно-следственной диаграммой. После корректирующих мероприятий диаграмму Парето можно вновь построить для изменившихся в результате коррекции условий и проверить эффективность проведения улучшений.

Виды диаграмм Парето

Необходимо различать два вида диаграмм Парето:

• по результатам деятельности, предназначенные для выявления главной проблемы и отражающие следующие нежелательные результаты деятельности

• по причинам, отражающие причины проблем, возникающих в ходе производства, используемые для выявления главной из них

Заключение

Диаграмма Парето оказывается наиболее эффективной, если число факторов, размещаемых по оси абсцисс, составляет от 7 до 10.

Использование диаграммы Парето в анализе данных

Допускается представление данных на диаграмме Парето в денежном выражении, лучше всего это показать на вертикальных осях. В случае, когда на основной ординате откладывают данные процентного соотношения, для вычерчивания кривой кумулятивной суммы нет необходимости откладывать значения кумулятивного процента на правой стороне графика по оси ординат.

При обработке данных необходимо проводить их расслоение по отдельным факторам, которые должны быть хорошо известны. Это – время отбора данных, тип изделия, партия сырья (материалов, комплектующих), процесс, руководитель, клиент, станок, оператор и т. д.

Анализ результатов

В том случае, когда все столбики на диаграмме Парето оказываются одной высоты, т. е. разницы во вкладе отдельных факторов в появлении брака нет, анализ диаграммы, а следовательно, и улучшение положения, оказывается достаточно простым. Однако равномерность распределения вклада факторов в появление брака может быть обусловлена и неправильным подходом к расслоению, поэтому в таких случаях при расслоении следует проверить данные или собрать новые.

Если группа Прочие составляет большой процент, значит, объекты наблюдения расклассифицированы неправильно и слишком много объектов попало в одну группу. В этом случае необходимо использовать другой способ классификации.

Построение диаграмм Парето

Для точного выявления сути проблемы следует построить несколько диаграмм Парето. Это обеспечит наблюдение явления с разных точек зрения и позволит опробовать различные пути классификации данных, пока не выявятся немногочисленные существенно важные факторы, что и служит целью анализа Парето.

Для наглядной демонстрации тех или иных мероприятий в области качества, достаточно построить и сравнить две диаграммы Парето – до и после реализации каких-то мероприятий.

Принятие мер по улучшению результатов

Если нежелательный фактор можно устранить с помощью простого решения, это нужно сделать незамедлительно, независимо от того, каким бы незначительным он ни был. Поскольку диаграмма Парето расценивается как эффективное средство решения проблем, значит, следует рассматривать только немногочисленные существенно важные причины. Однако, если относительно неважная причина устраняется простым путем, то это послужит примером эффективного решения проблемы.

Диаграмма Парето используется и в противоположном случае, когда положительный опыт отдельных цехов и подразделений хотят внедрить на всем предприятии. С помощью диаграммы Парето выявляют основные причины успехов и широко пропагандируют эффективные методы работы.

Контрольные карты – это графическое представление характеристики (показателя качества) процесса. Предназначены для оценки степени статистической управляемости процесса. Чаще всего используются при контроле качества продукции и регулировании технологических процессов. В зависимости от вида контроля различают контрольные карты, применяемые при контроле и регулировании по количественному (в том числе альтернативному) и качественному признакам. В первом случае используются численные значения показателей качества единиц продукции, во втором – единицы продукции делят на несколько групп качества и применяется решение о контролируемой продукции разных групп.

Пример одной из контрольных карт по количественному признаку j представлен на рисунке.

Контрольная карта числа дефектных единиц продукции

Контрольная карта числа дефектных единиц продукции: Пр – карта для статистического регулирования технологических процессов методом учета дефектов; d – браковочное число (означает минимальное число дефектных единиц в выборке, по достижении которого технологический процесс признается разлаженным)

Как видно на карте, 18-я выборка имеет 8 дефектных единиц продукции, что совпадает с браковочным числом (со значением границ регулирования). Следовательно, в этом случае технологический процесс должен быть признан разлаженным и требующим регулирования.

Сетевой график – полная графическая модель направленных на выполнение единого задания комплекса работ, в которой представлена логическая взаимосвязь, последовательность работ и взаимосвязи между ними. Основными элементами сетевого графика являются работа, событие, критический путь.

Событие – результат (но не процесс) предшествующего ему управленческого или производственного процесса. События могут быть исходными, завершающими, начальными и конечными.

Работа на сетевом графике является действием, которое следует совершить для перехода от одного события к другому. Для каждой работы на графике может быть указана ее продолжительность.

Путь – вся непрерывная последовательность работ на графике определенной суммарной продолжительности. Этой продолжительности следует уделять особое внимание, так как при сравнении продолжительности всех путей на графике можно определить тот, который имеет по продолжительности наибольшее значение. Его называют критическим, поскольку он обуславливает время окончания всего комплекса работ.

События на графике отображаются в виде кружков с номером события внутри, а работа – в виде стрелок, направленных от начального события к следующему, а в итоге к конечному. Событий с одинаковыми номерами и работ с одними и теми же кодами не должно быть. При необходимости вводят промежуточные события.

Строят график от исходного события к конечному. При этом не должно быть событий, кроме исходного, которым не предшествует ни одна работа, а также не должно быть тупиковых событий, кроме завершающего.

Пример сетевого графика приведен на рисунке.

Сетевой график обладает рядом преимуществ по сравнению с другими формами представления планов. Он позволяет рассчитать ранние и поздние сроки начала и окончания каждой работы, определить критический путь, общие и частные резервы времени. В то же время сетевой график недостаточно информативен и нагляден, так как в нем не указаны исполнители работ, а основные показатели не изображаются, а рассчитываются.

Сетевой график плана реализации нововведений в организации

9 ГИСТОГРАММЫ

9.1 Сущность и область применения гистограмм

Любому закономерному процессу в технике сопутствуют случайные отклонения. Конечные размеры деталей, химический состав сплавов, режимы термической обработки, характеристики механических свойств материала и пр. имеют большие или меньшие расхождения с номинальными значениями. Анализ производственных ситуаций базируется на данных, полученных в результате контроля и измерения одного или нескольких параметров изделий, однако точно предсказать конечный результат отдельного процесса или опыта практически не возможно, так как он протекает каждый раз по-новому. Тем не менее, при многократном повторении обнаруживаются вполне определенные закономерности, позволяющие прогнозировать исход большинства опытов.

Во всех без исключения отраслях промышленности требуется оценка точности и стабильности технологического процесса, осуществление наблюдений за качеством продукции и отслеживание различных показателей производства. Производственные процессы в силу своей сложности подвержены воздействию многочисленных факторов, как внешних, так и внутренних, имеющих, как правило, случайную природу. Путем измерения параметров соответствующими средствами получают ряд данных, представляющих собой неупорядоченную последовательность их случайных значений, на основе которых невозможно сделать корректные выводы.

Поэтому для осмысления статистической информации о качестве часто строят гистограмму распределения.

Гистограмма дает много полезной информации о точности и стабильности технологических процессов, о возможностях оборудования и оснастки. Благодаря простоте построения и наглядности гистограммы нашли применение в самых разных областях. Она используется для анализа:

стабильности параметров качества (размеров, массы, механических характеристик, химического состава, выхода продукции и др.) при контроле готовой продукции, при входном и приемочном контроле;

качества работы отдельных исполнителей,станков и т.д.;

9.2 Основные понятия и определения математической статистики

9.2.1 Статистическая природа материального мира

Однако, учитывая потребности производства, были разработаны, в том числе и российскими учеными, простейшие методы статистического анализа, пригодные для целей управления качеством науровне, приемлемом даже для квалифицированного рабочего.

9.2.2 Событие и его вероятность

Событие является результатом любого опыта (испытания) проводимого в заданных условиях является. Оно может иметь качественную или количественную характеристику. Качественной характеристикой события может быть, например изготовление качественной или некачественной детали, а количественной характеристикой – случайная величина ее размера.

Событие, которое в результате данного опыта должно обязательно произойти называют достоверным, а то, которое в данных условиях не произойдет никогда, называют невозможным. Если в опыте событие может произойти, а может ине произойти, его называют случайным событием. Классическим примером случайного события является извлечение белого шара из ящика с белыми и черными шарами.

Вероятность Р() – средняя частота появления случайного события А при многократной (в пределе – бесконечной) реализации условий для его наблюдения. Абсолютно достоверные события имеютР() = 1, невозможные – Р() = 0, для произвольного события0<=Р()<=1. Вероятность наблюдения случайного события является его важнейшей характеристикой.

В большинстве случаев вероятность события не может быть найдена аналитически, ее оценивают на основании результатов опытов с помощью накопленной частоты случайного события (А) – отношения числа опытов , в которых появилось событие А, к общему числу проделанных опытов , т.е.(А)=/. Повторяя серию из опытов многократно, будем получать различные значения (А), однако, близкие к вероятности Р() появления этого события. При этом,чем больше будет проделано опытов, тем ближе будет значение (А) к величине Р().

9.2.3 Случайная величина и законы ее распределения

Если под событием понимать появление какого-либо числа, это число будет случайной величиной.

Случайная величина (стохастическая переменная) – величина, наблюдаемое значение которой зависит от случайных причин.

Случайная величина является количественной характеристикой результата опыта и может принимать различные числовые значения, заранее неизвестные и зависящие от случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. Случайная величина характеризуется вероятностью, с которой она может приобрести то или иное значение из генеральной совокупности в области допустимых значений.

Генеральная совокупность – полный набор всех возможных значений случайной величины А. Она может быть или непрерывной средой, или набором дискретных значений. В статистике под генеральной совокупностью понимают все множество исследуемых объектов. Совокупность однородна, если хотя бы один ее существенный признак является общим для всех объектов совокупности.

Признак – качественная особенность объекта, принадлежащего даннойсовокупности. Признаки могут быть количественными и атрибутивными (качественными).

Наиболее полно случайные величины* могут быть охарактеризованы с помощью интегральной функции распределения (), представляющей собой вероятность появления значения , не превышающего , т.е.

Р(Х х) = (х).

Функция распределения (х)является неубывающей функцией Х (рисунок 9.1а). Вероятность попадания величины Х в интервал х1 Х х2 равнаР(х1 Х х2) = (х2) – (х1).

Функция (х) удовлетворяет условиям (-) = 0 и () = 1.

Для непрерывных, случайных величин (х) имеет производную, которая называется функцией плотности вероятности(х) = (х)/х. Плотность вероятности удовлетворяет условию (х) 0 (рисунок 9.1б).

Рисунок 9.1 – Интегральная функция распределения (а) и функция плотности вероятности (б) случайной величины

Вероятность попадания случайной величины Х в интервал х1 Х х2 может быть найдена через плотность вероятности Р(х1 Х < х2)= .

Функция распределения данной случайной величины связана с ее плотностью вероятности соотношением () =, поэтому площадь под кривой равна единице, т.е.

* Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, а их возможные значения – соответствующими строчными.

9.2.4 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

9.2.4.1 Характеристики центра распределения

В практических случаях вместо задания функций распределения случайной величины бывает достаточно указать некоторые их числовые характеристики, называемые статистиками.

В качестве числовых характеристик положения центра группирования случайных величин используют математическое ожидание а (для генеральной совокупности) или среднее арифметическое значение (для группы случайных величин),.

Это – основная, но не единственная характеристика центра группирования. Другими его характеристиками являются мода (Мо) и медиана (Ме).

Модой величины Х является такое значение МоХ, в котором плотность вероятности имеет максимальное значение (рисунок 9.2а).

Медианой величины Х служит значение МеХ, которое соответствует условию

Р(Х МеХ) = Р(Х МеХ) = 0,5.

Геометрически медиана это абсцисса прямой, которая делит площадь, ограниченную кривой плотности вероятности, пополам (рисунок 9.2б).

Рисунок 9.2 – Мода (а) и медиана (б) распределения случайной величины

Одной из основных характеристик рассеивания случайной величины Х около центра распределения служит дисперсия, которая обозначается 2 и определяется по формуле

Часто в качестве меры рассеивания случайной величины вместо дисперсии используют положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением

В практике широко применяют также характеристику рассеивания, называемую коэффициентом вариации, представляющим собой отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию

= (/ а) 100%

Коэффициент вариации показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины.

Начальным моментом распределения –го порядка называется число, определяемое по формуле

Центральный момент -го порядка определяется из выражения

Для статистической обработки результатов используют моменты первых четырех порядков. Между начальными и центральными моментами распределения существуют следующие зависимости

m1 = 0

m2 = h2 – h12

m3 = h3 – 3h2h1 + 2h12 ;

m4 = h4 – 4h3h1 + 6h2h12 – 3h14.

Здесь: 1 = а; 2= 2 .

Третий центральный момент 3 используют для вычисления показателя асимметрии распределения =3/3.

Четвертый центральный момент 4 применяют для определения показателя эксцесса Е = (4/4)–3, являющегося характеристикой крутизны распределения. Отличные от нуля показатели асимметрии и эксцесса указывают на отклонение рассматриваемого распределения от нормального.

9.2.4.4 Понятие о выборке. Эмпирическое распределение случайной величины. Доверительный интервал

Любые результаты измерения характеристик объекта получают, проводя ограниченное число опытов, поэтому полученные значения всегда в разной степени отличаются от так называемых генеральных характеристик, которые могли бы бытьопределены по результатам бесконечно большого числа измерений, образующих генеральную совокупность. Реально полученная, ограниченная часть этой совокупности называется выборочной совокупностью (выборкой).

Выборка – часть объектов генеральной совокупности, выделенная для изучения.

Сформировать выборку – сложная задача. Основные требования к выборке:

равные шансы попасть в выборку для всех объектов генеральной совокупности;

извлечение выборки из генеральной совокупности – случайным образом.

Формируют выборку по таблицам случайных чисел или на ЭВМ с помощью генератора псевдослучайных чисел.

Разница между выборочными и генеральными значениямихарактеристик уменьшается с увеличением объема выборки, т.е. вероятность события, состоящего в том, что разница между указанными значениями характеристик не будет превышать сколь угодно малую величину, при увеличении объема выборки неограниченно приближается к единице.

При малом объеме выборки ( 40 60) выборочное среднее значение характеристики определяют как

где — значение признака; п — чис­ло наблюдений (число значений признака). Эта средняя используется тогда, когдакаждое значение признака встречается только один раз или они равны между собой.

В этом случае мода – это наиболее часто встречающееся в выборке значение признака. Для дискретного ряда она определяется непосредственно как вариант х, имеющий наибольшую частоту.

Медиана – значение признака у средней единицы ранжированного ряда.

Для ее нахождениясначала определяется ее порядковый номер , а затем по накопленным частотам определяется сама

Выборочная дисперсия характеристики определяется как

Выборочное среднее квадратическое отклонение и выборочный коэффициент вариации определяют соответственно как

При большом объеме выборки ( 60) значения измеренных характеристик систематизируют в виде вариационного ряда, разбивают на несколько интервалов и подсчитывают число значений, попавших в каждый интервал (частоту попадания в интервал).

Если частоты отличны друг от друга, расчет про­изводится по формуле взве­шенной средней арифметической

где — центральное значение -го интервала; т — частота попадания замеров в заданный интервал; число интервалов.

Для интервального ряда с равными интервалами мода рассчитывается по формуле

где x0 – нижняя граница модального интервала; – ширина интервала;

2 – частота модального интервала; 1 – частота интервала, предшествующего модальному; 3 -частота интервала, следующего за модальным.

В ряду с неравными интервалами мода определяется в интервале, имеющем наибольшую плотность распределения, ив формуле вместо 1, 2, 3 принимаются соответствующие плотности распределения.

в этом случае определяется простой интерполяцией. Значение медианы рассчитывается по формуле

где x0 – нижняя граница медианного интервала; порядковый номер медианы; -1- накопленная частота до медианного интервала; – частота медианного интервала.

Продемонстрируем расчет выборочных моды и медианы на простом примере.

Пример. Требуется определить моду и медиану по выборочным данным о заработной плате рабочих одного из цехов предприятия.

Таблица 9.1 – Сведения о заработной плате рабочих цеха № 10

Месячная заработная плата, тыс. руб.

Значение медианы, равное 7367 руб. говорит о том, что половина рабочих получает заработную плату ниже этой суммы, а половина — выше.

Мода и медиана могут быть определены также: первая – по гистограмме, а вторая по кумуляте (рисунок 9.3).

Рисунок 9.3 – Гистограмма (а) и кумулята (б) распределения двухсот рабочих по уровню заработной платы.

Для интервального ряда взвешенную дисперсию определяют из выражения

Определение выборочного среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации в этом случае ничем не отличается от предыдущего.

Если необходимо определить показатели асимметрии и эксцесса выборочного распределения, предварительно находят начальные моменты распределения:

Затем определяют центральные моменты 3 и 4, и после этого находят значения =3/3 и Е = (4/4)–3 (см. выше).

Формулы расчета выборочных характеристик могут быть использованы как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин.

На практике обычно выборочными характеристикамиоценивают величины генеральных характеристик. Оценка может быть точечной (одно число) или интервальной.

Характеристикой неопределенности случайной величины, исследуемой по выборке, является

Доверительный интервал – интервал значений признака Х, в котором с заданной вероятностью находитсязначение исследуемой величины:

– < < + ,

где Х – значение признака генеральной совокупности; х – выборочное значение признака; – предельная ошибка выборки.

Ширина доверительного интервала определяется принятым уровнем доверительной вероятности. На практике чаще всего используют Р = 0,9; 0,95; 0,99.

Уровнем значимости называют величину = 1 – Р. Соответственно, наиболее употребительными его значениями являются =0,1; 0,05; 0,001.

9.2.4.5 Проверка статистической гипотезы

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах изучаемой величины. В отношении качества это предположение связывается с нормами на значения величин, характеризующих качество. С помощью статистических критериев проверяют т.н. нулевую гипотезу Н0 в отношении выборочного значения 0 и значения генеральной совокупности (0 отражает ).

В статистическом анализе возможны ошибки двух видов:

– ошибка 1-го рода () – отклоняется верная гипотеза;

– ошибка 2-го рода () – принимается ложная гипотеза.

Применительно к производству продукции ошибка 1-го родаможет быть совершена, если при контроле качества будет ошибочно забракована партия годных изделий. Вероятность совершить такую ошибку называют альфа-риском или риском поставщика. В управлении процессами – это ложное выявление нарушения процесса приего фактическом отсутствии. Результат этой ошибки – затраты, связанные с излишней борьбой с несуществующей проблемой. Ошибка 2-го рода – пропуск бракованной партии изделий. Вероятность такой ошибки называют бета-риском или риском потребителя. В управлении процессами – это необнаружение фактически произошедшего нарушения процесса. Результат такой ошибки – потери, связанные с производством брака и последствиями его устранения. При этом упускается возможность установить причины нарушения.

9.2.4.6 Нормальный закон распределения

В зависимости от характера случайной величины законы ее распределения могут быть самыми различными. Если на исследуемую величину одновременно действует много независимых случайных факторов, она подчиняется нормальному закону распределения (закону Гаусса). Этот закон имеет фундаментальное значение.

Рисунок 9.4 – Графики функций нормального распределения дляразличных значений а и 2 : 1,2,3 – а1 = а2 = а3 = а ;21 < 22 < 23 ; 2,4,5,6–а2 < а4 <а5 < а6 ; 22 = 24 = 25 = 26

Нормальная плотность вероятности определяется выражением

На рисунке 9.5 приведены графики нормальной плотности вероятностей для различных значений а и 2.

– Графики нормальной плотности вероятностей для различных значений а и 2 : 1,2,3 – а1 = а2 = а3 = а ; 21 < 22 < 23 ; 2,4,5–а2 < а4 <а5 ; 22 = 24 = 25

Гистограмма строится в следующем порядке.

1. Формируют выборку, т.е. собирают исходные данные за определенный период времени. Количество значений признака не менее 30, оптимальное количество – 100.

2. Определяют выборочный размах:

= х- (разница между наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями).

3. Делят размах на интервалы равной ширины.

Ширину интервалов находят как. Количество интервалов зависит от объема выборки :

11 – 20

Для определения количества интервалов при – генеральная совокупность.- определяют левую границу первого интервала (хьшт);-прибавляют к ней ширину интервала, чтобы получить егоправую границу; -к правой границе последовательно прибавляютширинуинтервала для получения второй, третьей и т.д. правых границ;-проверяют, что х входит в последний интервал;5. Вычисляют середины интервалов как полусуммы их левых и правыхграниц.6. Определяют частоты попадания значений в каждый интервал. Значения, совпадающие с правой границей, относят к левому интервалу.Готовят таблицу частот, куда заносят интервалы, их средние значения, частоты попадания в интервал.7.Строят столбчатый график гистограммы, где на оси абсцисс откладывают значения исследуемого показателя, а на оси ординат – частоты попадания измеренных значений в интервал