Просмотр книги “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов – Глава: 5. 4. определение курсовой стоимости и доходности банковских сертификатов”

Анализ рисков можно подразделить на два взаимно дополняющих друг друга вида: качественный и количественный.

Качественный анализ осуществляется с целью идентификации факторов риска и потенциальных областей риска. Количественный анализ направлен на количественное определение величины риска.

Все факторы риска можно разделить на две группы: объективные и субъективные. К объективным относятся факторы, не зависящие непосредственно от самой фирмы. В эту группу входят: инфляция, конкуренция, политические и экономические кризисы и т.д. К субъективным относятся факторы, непосредственно связанные с деятельностью фирмы. Это производственный потенциал, техническое оснащение, организация труда, уровень менеджмента и т.д.

Для количественной оценки риска используются следующие методы: статистический, аналогий, экспертных оценок, комбинированный. Поскольку под риском понимается вероятность осуществления неблагоприятного события (сценария), количественная оценка риска чаще всего сводится к оценке величины соответствующей вероятности.

В зависимости от способа определения величины вероятности можно выделить частотную и субъективную вероятность наступления неблагоприятного события.

Суть статистического метода заключается в том, что изучается статистика потерь и доходов, имеющих место в прошлом. При статистическом методе устанавливается величина и частотность получения той или иной отдачи от инвестиций и составляется наиболее вероятный прогноз на будущее. Таким образом, для применения этого метода требуется наличие довольно большого массива наблюдений за соответствующими факторами риска.

При использовании метода аналогий анализируются имеющиеся данные по аналогичным проектам в прошлом с целью расчета вероятности возникновения потерь по оцениваемому проекту. Таким образом, для расчета уровня риска этим методам используется статистическая база данных по аналогичным проектам.

Значения вероятностей, полученные с применением статистического метода и метода аналогий, называются объективными. Субъективная вероятность рассчитывается на базе метода экспертных оценок и является предположением о наступлении неблагоприятного результата, которое основывается на индивидуальном суждении эксперта в данной области. Таким образом, экспертный метод основан на обработке мнений опытных специалистов.

Преимущество такого способа оценки риска заключается в возможности его применения для неповторяющихся событий и в условиях отсутствия достаточного количества статистических данных, необходимых для выявления объективных вероятностей. Довольно часто на практике применяется также метод, являющийся комбинацией статистического и экспертного методов определения риска.

Риск вложений в ценные бумаги

Риск и его виды

Мы рассмотрели вопрос определения цены и доходности акций и облигаций. При этом мы считали, что доход является гарантированным, т.е. мы не учитывали риск вложений в разные виды ценных бумаг. В то же время большинство ценных бумаг относятся к числу рисковых активов, которые характеризуются вероятностным значением получения результата.

Под риском мы будем понимать вероятность отклонения фактически полученного результата от величины ожидаемого дохода. Чем больше диапазон колебания возможных результатов, тем выше риск. В свою очередь, чем выше риск вложений, тем большую доходность должны приносить такие инвестиции. Инвесторы стремятся к тому, чтобы иметь наименьший риск при данном уровне доходности актива или обеспечить максимальную доходность при определенном уровне риска.

Все факторы риска можно разделить на две группы: объективные и субъективные. К объективным относятся факторы, не зависящие непосредственно от самой фирмы. В эту группу входят: инфляция, конкуренция, политические и экономические кризисы и т.д. К субъективным относятся факторы, непосредственно связанные с деятельностью фирмы. Это производственный потенциал, техническое оснащение, организация труда, уровень менеджмента и т.д.

Лауреат Нобелевской премии У. Шарп в 1964 году выделил две составляющие общего риска любого актива:

1. Специфический риск корпорации (риск эмитента). Данный риск относится к числу субъективных рисков.

2. Систематический или рыночный риск, который возникает по независящим от эмитента обстоятельствам. Данный риск является объективным.

Для количественной оценки риска используются следующие методы: статистический, аналогий, экспертных оценок, комбинированный. Поскольку под риском понимается вероятность осуществления неблагоприятного события (сценария), количественная оценка риска чаще всего сводится к оценке величины соответствующей вероятности.

Измерение риска

Риск, как сказано выше, связан с возможностью совершения некоторых неблагоприятных событий, которые могут привести к потере или ущербу.

Для иллюстрации рисковости финансовых вложений предположим, что инвестор приобретает трехмесячные краткосрочные государственные облигации на сумму 10 000 долл. по цене 980 долл., которые погашаются через три месяца по номиналу 10000 долл. В этом случае норма прибыли (или доходность) инвестиций может быть определена совершенно точно и такие инвестиции считаются безрисковыми.

Другое дело, если инвестор приобретает на сумму 10 000 долл. акции компании, созданной для вывода на рынок нового товара. Отдача на эти инвестиции не может быть оценена точно. В результате анализа можно установить, что ожидаемая норма прибыли может составить 25%. Но инвестор должен осознать, что действительная норма прибыли в этом случае может колебаться в широком диапазоне, например, от 500% до -100%, т. е. если новый товар не будет пользоваться достаточным спросом, то инвестор может потерять все вложенные средства. Поскольку в данном случае имеется опасность получить меньше прибыли, чем ожидается, то акции следует определить как рисковые.

Таким образом, инвестиционный риск заключается в том, что есть вероятность получить действительную прибыль меньше ожидаемой. Чем больше шанс низкой или негативной прибыли, тем более рисковыми являются данные инвестиции.

Рисковые активы характеризуются вероятностными значениями получения результата. Вероятность события можно определить как шанс того, что это событие произойдет. Если установлены все возможные исходы и выявлена вероятность каждого события, то мы получаем вероятность распределения изучаемого явления.

Вероятность распределения может быть представлено в виде таблицы или графически. Например, если рассматривается владение недвижимостью (квартирой) и известны возможные цены продажи через год при различной ситуации на рынке недвижимости (введение налога на недвижимость, ввод в эксплуатацию нового жилья и другие факторы могут повлиять на спрос), то вероятность распределения может быть представлено в виде табл.

Таблица

Вероятность получения дохода при инвестировании в недвижимость

Ожидаемое значение результата определяется как сумма произведений возможных значений результата на соответствующие значения вероятности. Так ожидаемая доходность при инвестировании в недвижимость есть средневзвешенная величина возможных значений доходности:

R = 20 х 0,25 14,3 х 0,5 8,6 х 0,25 = 14,3%.

Можно определить вероятность получения дохода и от финансовых инвестиций. Если инвестор приобретает акции, то он рассчитывает получить прибыль, которая будет складываться из дивидендов и прироста курсовой стоимости акций. Риск в этом случае связан с невыплатой ожидаемых дивидендов или с низкими темпами роста или даже снижением курсовой стоимости акций.

Предположим, что у инвестора имеется возможность приобрести акции компаний «Дельта» и «Омега». Чтобы сделать правильный выбор, инвестору следует определить возможную норму прибыли на свои вложения а также требуемую величину риска. Компания «Дельта» оказывает услуги в области информации и компьютерных технологии. Ее прибыль растет и падает в соответствии с бизнес-циклом. Кроме того, фирма работает в обстановке острой конкуренции с другими фирмами, и если конкуренты опередят фирму, то она может оказаться на грани банкротства. В то же время компания «Омега» — это телефонная компания, которая занимает монопольное положение в регионе и ее прибыль является относительно стабильной и предсказуемой.

Допустим, что на следующий год возможны три состояния экономики — подъем, нормальное состояние и спад. Предположим, что нам удалось определить вероятность наступления каждого состояния и определить возможную норму прибыли на акции (дивиденды плюс прирост или потеря курсовой стоимости акции). Результаты прогноза представлены в табл.

Таблица

Вероятность получения нормы прибыли на акции

Мы установили, что имеется 20% вероятности подъема экономики, когда обе компании будут иметь высокую прибыль, но имеется и 20% вероятности спада производства, что приведет к снижению прибыли в обеих фирмах, но это состояние обернется для акционеров «Дельты» не просто снижением нормы прибыли, а прямыми потерями. Кроме того, имеется и 60% вероятности нормального развития экономики и умеренной нормы прибыли на инвестиции.

Каждое из названных состояний экономики возможно и, соответственно, возможен каждый из представленных вариантов получения дохода. Однако они имеют неодинаковую вероятность осуществления. Поэтому ожидаемая норма прибыли — это взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Она вычисляется следующим образом:

R_ож = R₁*P₁ R₂*P₂ … R_n*P_n.

где R_i— i-й возможный результат нормы прибыли; P_i — вероятность i-гo результата, I = 1, 2 …, п; R_ож— взвешенная средняя, ожидаемая норма прибыли.

Колебание нормы прибыли для «Дельты» составляет от 40% до -10% с ожидаемой нормой прибыли 15%. Для «Омеги» ожидаемая норма прибыли также составляет 15%, но разброс колебаний значительно меньше – от 20% до 10%. Ясно, что инвестор предпочтет вкладывать деньги во вторую компанию, так как разброс значений возможной прибыли здесь значительно ниже, а значит и ниже риск.

Мера риска

Для сравнения активов (реальных и финансовых) и принятия инвестиционных решений необходима количественная оценка риска, позволяющая ранжировать активы. В практике финансового менеджмента нашли применение несколько показателей для оценки риска:

1) дисперсия, как мера разброса возможных значений доходности;

2) стандартное отклонение, как мера разброса, выраженная в тех же единицах, что и результат (например, доходность);

3) коэффициент вариации для ранжирования активов с различными значениями ожидаемой доходности.

Мерой разброса возможных результатов доходности вокруг ожидаемого значения является дисперсия (или вариация). Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс значений доходности. Дисперсия дискретного распределения рассчитывается по формуле

σ²=[(R_i – R_c)²*P_i].

п — число возможных отклонений от ожидаемого значения, R_i –i–е значение доходности, P_i вероятность получения доходности,R_c –ожидаемое значение доходности.

Если все значения R_iравновероятны, то последнее выражение может быть представлено в следующем виде

σ²= [(R_i – R_c)².]/n.

Известно, что в данном случае выборочная дисперсия представляет смещенную оценку теоретической дисперсии. Несмещенная оценка дисперсии определяется формулой

σ²= [(R_i – R_c)².]/(n-1).

Дисперсия измеряется в тех же единицах, что и результат (в процентах, если в качестве результата рассматривается доходность, и в денежных единицах, если в качестве результата рассматриваются денежные потоки — выручка, издержки, прибыль и т.д.), но возведенных в квадрат.

Для определения ожидаемого значения доходности(R_c)используется следующее выражение

R_c = R_i * P_i.,

или же

R_c = (R_i )/n

Таким образом, ожидаемое значение доходности находится как взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Для облегчения сравнения и анализа риска различных активов чаще используется квадратный корень из дисперсии – среднеквадратичное отклонение:

σ= √[(R_i-R_c)²*P_i].

Стандартное отклонение более удобно, чем дисперсия, так как измеряется в тех же единицах, что и результат, т.е в процентах, денежных единицах и т.д.

Еще один показатель риска – это коэффициент вариации, который определяется из следующего соотношения

V = σ/R_c.

Экономический смысл данного показателя состоит в том, что он определяет количество риска на единицу доходности.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.

Средняя доходность активов Х и У будет равна:

R_cx = (5,5 8,1 6,2 3,4 8,5 6,0 7,0 5,0 8,0 9,0 9,5 7,5)/12 = 7,0

R_cу = (10 30 20 40 25 10 5 30 10 15 50 20)/12 = 22,1

Для расчета дисперсии доходности ценой бумаги Х используем следующее выражение

σ² = [(R_i – R_c)².]/n.

σ² = [(5,5-7)² (8,1-7)² (6,2-7)² (3,4-7)² (8,5-7)² (6,0-7)² (7,0-7)² (5,0-7)² (8,0-7)² (9,0-0)² (9,5-7)² (7,5-7)² ]/12 = 2,98

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент вариации равны:

= 1,73, V= 1,73/7 = 0,25.

Аналогичные расчеты можно произвести для ценной бумаги Y:

σ²= 168,58, σу= 12,98, V= 12,98/22,1 = 0,59.

Таким образом, мы видим, что инвестирование в ценные бумаги У связано с существенно более высоким риском. Так если стандартное отклонение доходности бумаг Х составляет всег7о 1,73%, то У – 12,98%. На единицу доходности у бумаг У приходится примерно вдвое больший риск, чем у бумаг Х.

Рассмотрим еще один пример. Имеется два проекта А и В. Проект А связан с инвестициями в приобретение оборудования для производства продукции на достаточно стабильном рынке. Проект В предполагает инвестиции в производство высококачественного и дорогостоящего продукта, спрос на который имеет высокую чувствительность к экономической ситуации.

Ожидаемая доходность обоих проектов равна нулю в случае рецессии, а в случае высоких темпов роста экономики доходность проекта А составляет – 10%, а проекта В – 15%. Значения ожидаемой доходности для различных состояний экономики представлены в таблице.

Взвешенное значение доходности получается путем умножения прогнозируемой для каждого состояния экономики доходности на вероятность данного состояния. Сумма этих взвешенных значений дает ожидаемую доходность, которая для проекта А составляет 6%, а для проекта В – 7%.

Таблица

Вероятность получения дохода

Для проекта А разность между максимальным и минимальным доходом составляет 10%, а для проекта В – 15%. Расчет дисперсии и стандартного отклонения для проектов А и В представлен в таблицах.

Таблица

Стандартное отклонение для проекта А

Таблица

Стандартное отклонение для проекта В

Расчеты показывают, что стандартное отклонение доходности для проекта А составляет 0,03225 (3,2 %), а для проекта В – 0,04583 (4,6%). Таким образом, реализация проекта В связано с большим риском.

Стандартное отклонение дает нам возможность оценить, насколько выше или ниже ожидаемой величины может быть действительная величина нормы прибыли. Для «А» это составляет 3,2%, для «В» — 4,6%. Это означает, что акции «В» являются более рисковыми, чем акции «А».

Если вероятность распределения является нормальной, то имеется 68 % вероятности того, что действительная отдача будет находиться в пределах ± одного стандартного отклонения, 95% – в пределах ± 2 и 99% – ± 3 стандартных отклонений. Таким образом, для акций «А» действительная норма прибыли будет колебаться в пределах от 2,8% (6% – 3,2%), до 9,2 (6% 3,2%), а для акций «В» диапазон колебаний нормы прибыли будет находиться от 2,4% до 11,6%. (примерно с вероятностью 68%)

Среднее значение и стандартное отклонение являются важными показателями рисковых активов. Среднее значение характеризует ожидаемую доходность, а стандартное отклонение – связанный с этим риск. Большинство инвесторов при этом исходят из того, что чем большую величину риска имеет актив, тем большее значение должна иметь ожидаемая доходность. Эти предпочтения инвесторов представлены в виде следующего графика.

Рис. Соотношение между риском и доходностью

Для иллюстрации зависимости между доходностью и риском в таблице представлены средние значения доходности и риска ценных бумаг США за ряд лет.

Средние значения доходности и риска ценных бумаг (США)

Самым рисковым активом являются акции корпораций. При этом они имеют и наибольшую доходность. Так, например, в 1952 году средний курс акций вырос на 52%, а в 1931 – упал на 43%. Наименьший риск имеют государственные облигации, корпоративные облигации имеют промежуточное значение риска.

В предыдущем параграфе мы познакомились с тем, как определяется доходность различных видов ценных бумаг. Что касается конкретных значений величины доходности, то диапазон их колебаний является достаточно широким и зависит как от типа ценных бумаг (долговые обязательства или акции), так и от срока действия и эмитента долговых бумаг.

В табл. 11.10 представлены результаты расчетов доходности различных видов ценных бумаг, произведенных американской компанией «Ibbotson associates» за период с 1926 г. по 1988 г.

Таблица 11.10

Средние значения доходности ценных бумаг в 1926—1988 гг. (% в год)

Источник: Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов / Пер. с англ. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997. С. 140.

Как следует из таблицы, наиболее низкую доходность имели краткосрочные ценные бумаги (казначейские векселя). Их реальная доходность (с учетом поправки на инфляцию) составила всего 0,5% годовых. Государственные краткосрочные облигации считаются безрисковыми инструментами, поэтому не имеют рисковой премии.

Срок действия ценной бумаги является фактором, оказывающим существенное влияние на доходность. Когда срок действия финансового инструмента увеличивается, уровень доходности обычно возрастает. С точки зрения инвестора это вполне объяснимо, так как отдавая деньги на длительный срок, инвестор подвергается большему риску. В случае повышения процентной ставки по краткосрочным обязательствам долгосрочные вложения могут обесцениться и оказаться менее прибыльными. Вот почему даже государственные долгосрочные облигации (срок действия более одного года) должны иметь более высокую доходность по сравнению с государственными краткосрочными облигациями. Корпоративные облигации, которые имеют более высокую степень риска по сравнению с государственными облигациями, имеют и более высокую премию за риск.

Инвесторы, которые вкладывают свои средства в обыкновенные акции, принимают на себя дополнительный риск, а потому должны получать более высокую прибыль на свои вложения. Как следует из табл. 11.10, дополнительная доходность обыкновенных акций по сравнению с казначейскими векселями (которая представляет собой премию за риск) в период 1926—1988 гг. составила 8,4%.

Из сказанного можно заключить, что доходность ценных бумаг тесно связана со степенью их риска. Иными словами, эффективность вложений в ценные бумаги (как, впрочем, и в другие активы) следует оценивать как с точки зрения приносимого дохода, так и возможного риска. Доходность и риск — это параметры, характеризующие инвестиционные качества ценных бумаг.

Большинство инвесторов, как свидетельствуют многочисленные обследования, действительно не расположены к риску. Если взять «среднего инвестора» (что является чисто теоретическим понятием), то он не расположен к риску. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что инвесторы не расположены к риску.

Рейтинги ценных бумаг

Общий риск, связанный с осуществлением любых видов инвестиций, в том числе и инвестиций в ценные бумаги, происходит из многих источников. Действие всего множества факторов определяет совокупный риск вложений в ценные бумаги. В принципе, все источники риска в той или иной мере связаны друг с другом, поэтому невозможно определить риск, который происходит от каждого отдельного источника.

Для владельца долговой ценной бумаги важнейшее значение имеет риск неплатежа, заключающийся в том, что заемщик не сможет произвести процентные платежи и погашение основной суммы долга. Чем выше вероятность неплатежа, тем выше должен быть уровень доходности ценных бумаг. Государственные ценные бумаги, которые считаются наиболее надежными по степени риска инструментами, как правило, имеют наиболее низкую доходность. Уровень доходности ценных бумаг возрастает по мере повышения степени их риска

В странах мирового сообщества имеется ряд аналитических компаний, которые на основе анализа финансового состояния и платежеспособности эмитента оценивают качество долговых ценных бумаг и привилегированных акций, и в соответствии с этим относят выпущенные различными эмитентами ценные бумаги к тому или иному классу. Наиболее известны рейтинги долговых ценных бумаг, производимых рейтинговыми агентствами Moody’s, Standard & Poor’s и Fitch.

В табл. 11.11 представлена применяемая первыми двумя агентствами классификация облигаций.

Облигации первых трех категорий — это облигации высокого качества. Вероятность получения процентов и основной суммы долга по этим облигациям высокая. Облигации четвертой категории («Ваа» и «ВВВ») имеют среднюю вероятность выплаты процентов и основной суммы долга. По мере продвижения «вниз» рейтинговой шкалы вероятность неплатежа по облигациям увеличивается, и инвестиции в них приобретают все более спекулятивный характер. Категория «С» характеризуется отсутствием выплаты процентов по облигациям, а категория «D» означает состояние дефолта.

Таблица 11.11

Рейтинг облигаций

В каждой категории рейтинга выделяются три уровня, что обозначается цифрами 1, 2, 3 в рейтинге агентства Moody’s или знаками плюс ( ), минус (-), без знака в рейтинге Standard & Poor’s, которые ставятся после буквенного обозначения. Цифра 1 и знак ( ) означают более высокий уровень рейтинга, по сравнению с цифрой 3 и знаком (-).

Рейтинговой оценке подвергаются не только корпоративные облигации, но и долговые обязательства отдельных государств. О том, как менялся рейтинг долговых обязательств России, дает представление табл. 11.12.

Таблица 11.12

Источник:Ведомости. 2001. 30 нояб.

Понижение кредитного рейтинга приводит к снижению цен на долговые обязательства, в то время как повышение рейтинга сопровождается ростом цен. Так, после того, как агентство Moody’s 29 ноября 2001 г. объявило о повышении кредитного рейтинга России с В2 до ВаЗ, котировки российских 30-летних облигаций выросли сразу на один процентный пункт — с 52,5% до 53,5% от номинала. Обычно повышение рейтинга страны приводит к росту котировок не только на облигации, но и на акции и депозитарные расписки страны-эмитента.

Доходность и риск портфеля ценных бумаг

Основные понятия и цель формирования портфеля

При осуществлении инвестиционной деятельности инвесторы могут вкладывать средства не в один, а несколько объектов, формируя тем самым некую совокупность объектов инвестирования.

Инвестиционным портфелем называют сформированную в соответствии с целями инвестора совокупность объектов инвестирования, которая рассматривается как целостный объект управления. Распределяя свои вложения по разным объектам, инвестор может достичь более высокого уровня доходности своих вложений либо снизить степень их риска.

Главная цель формирования портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходностью. Рациональный инвестор стремится к тому, чтобы снизить до минимума риск потерь при заданном уровне доходности или обеспечить максимальную доходность при заданном уровне риска.

Снижение риска посредством диверсификации

Рисковые ценные бумаги могут комбинироваться таким способом, что их комбинация, называемая портфелем ценных бумаг будет иметь меньший риск, чем его составляющие. Рассмотрим следующий пример (см. табл.). Имеются две компании, расположенные на Северном Кавказе. Первая производит и продаем средства для загара, а вторая зонты от дождя. Объем продаж и прибыль компании А существенно выше в солнечные годы. Соответственно выше и доходность акций. Объем продаж, прибыль и доходность компании В солнечные годы наоборот существенно снижается.

Приобретение акций одной из компаний А или В связано с большим риском. В нашем примере доходность инвестиций в акции компаний будет изменяться от 33% до -9%, в зависимости от погодных условий.

Предположим, что вместо приобретения одной из ценных бумаг, инвестор вкладывает половину своих средств в акции компании А, а другую половину – в акции В. В результате в дождливый год инвестиции в размере 50 тыс. руб. в акции А дают убыток в размере 4,5 тыс. руб., а в акции В доход – 16,5 тыс. руб. Доходность портфеля в этом случае составит

Rp = (-4,5 16,5)/100 = 12%.

Анализ показывает, что доходность портфеля остается постоянной вне зависимости от погодных условий. Таким образом, комбинация двух рисковых активов позволяет сформировать портфель с заданным уровнем доходности. Рассмотренный пример демонстрирует возможность снижения риска посредством диверсификации. В данном случае риск оказался полностью устраненным, так как доходность ценных бумаг А и В изменялась строго противоположным образом. На практике такая ситуация является достаточно редкой. Ценные бумаги большинства компаний имеют схожие тенденции изменения, и поэтому полное устранение риска невозможно.

Портфельный анализ

Вкладывая средства в различные ценные бумаги, инвестор формирует портфель инвестиций. Он стремится сформировать этот портфель так, чтобы при требуемой им доходности снизить риск либо при данном приемлемом уровне риска повысить доходность.

Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля определяется как средневзвешенная величина ожидаемых доходностей активов, включенных в портфель:

R_p = R₁*W₁ R₂*W₂ … R_n*W_n,

где R_i – доходность i-й ценной бумаги, W_i – доля инвестиций в i-ю бумагу.

Риск портфеля в целом измеряется при помощи дисперсии и стандартного (среднеквадратичного) отклонения портфеля.

Для расчета дисперсия портфеля, состоящего из n ценных бумаг, используется формула:

² = W_i * W_j ,

где – ковариация ценных бумаг i и j, W_i,W_j.– их удельные веса.

Для случая двух ценных бумаг последнее выражение преобразуется к виду:

² = W_i * W_j , = *W₁² *W₂² 2* *W₁* W₂

Ковариацияхарактеризует взаимосвязь двух случайных величин. Формула для вычисления ковариации имеет примерно такой же вид, как и для вычисления дисперсии:

= (R_xк – R_cx)*(R_yк – R_cy)*P_i,

Где – ковариация между ценными бумагами х и у; R_xк, R_yк – норма дохода по акциям Х и У; R_cx, R_cy – ожидаемая норма дохода по ценным бумагам х и у; п – число вариантов (наблюдений), P_i.- вероятность i – го состояния.

Главное отличие ковариации от дисперсии состоит в том, что в ней присутствуют параметры двух активов Х и У. Ковариация характеризует степень взаимосвязи их изменения. Если активы имеют тенденцию изменяться в одном и том же направлении, то говорят, что они имеют положительную ковариацию, если активы изменяются разнонаправлено, то они имеют отрицательную ковариацию, если они изменяются независимо друг от друга, то ковариация между ними равна нулю.

Рассмотрим процедуру расчета ковариации активов А и В (см. табл.)

Процедура расчета ковариации включает расчет среднего значения для каждого актива, отклонений от среднего значения и произведения отклонений. Далее рассчитывается взвешенное по вероятности произведение отклонений и значение ковариации. Ковариация является показателем взаимосвязи двух переменных. В данном примере она является положительной. Это означает, что доходность активов А и В имеет тенденцию изменяться в одном направлении.

Проблема использования показателя ковариации состоит в сложности содержательной интерпретации его числового значения. В связи с этим наибольшее практическое применение получил такой показатель взаимозависимости двух переменных, как коэффициент корреляции, который определяется из следующего соотношения:

CR_xy = /( ),

где – стандартное отклонение доходности ценных бумаг.

Коэффициент корреляции является нормированным показателем и его значение лежит в диапазоне от -1 до 1. Если CR_xy= -1, то это означает, что значения доходности активов изменяются строго в противоположных направлениях, а ели – 1, строго в одном направлении. Значения коэффициента корреляции, находящиеся между двумя крайними значениями характеризует определенный уровень взаимосвязи между ценными бумагами.

В нашем примере коэффициент корреляции равен

CR_ав = _в/( ) = 0,0014/(0,3225*0,04583) = 0,95

Таким образом, активы А и В имеют примерно одинаковый характер изменения, т.е. между ними существует сильная взаимосвязь.

Рассчитаем показатели дисперсии и стандартного отклонения портфеля при условии равенства удельных весов ценных бумаг в портфеле

² = ² W_x^{2 2} W_у² 2*( * * W_x* W_у*Cor_xy)

= _√²

² = (0,5)² *0,00104 (0,5)² *0,0021 2*(0,5)*(0,5)*(0,0014)=0,001485.

= _{√0,001485 = 0,0385}

Таким образом, в данном примере стандартное отклонение портфеля находится в интервале между стандартными отклонениями активов А и В.

Проанализируем полученное выше выражение для вариации портфеля, состоящего из двух ценных бумаг Х и У:

² = *W_х² *W_у² 2* *W_х* W_у

В данной формуле первый и второй члены представляют вклад вариации активов Х и У в вариацию портфеля. Они всегда имеют знак плюс и, поэтому, этот вклад будет неотрицательным.

Третий член формулы содержит показатель ковариации активов и является ключевым при анализе влияния диверсификации на снижение риска. Ковариация может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от характера изменения активов Х и У. Для анализа влияния величины ковариации на риск портфеля рассмотрим три ситуации:

1. Наибольшая положительная ковариация.

2. Наибольшая (по абсолютной величине) отрицательная ковариация.

3. Ковариация, находящаяся между этими двумя крайними случаями.

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение активов Х и У представлены на рисунке.

Актив У имеет наибольшую доходность и наибольшее стандартное отклонение. Линии, соединяющие точки Х и У, характеризуют возможные портфели, которые могут быть сформированы из активов Х и У при различных их удельных весах. Например, точки, расположенные вблизи точки Х соответствуют портфелям, сформированным в основанном из активов Х, а вблизи У – из активов У.

Рассмотрим случай полной положительной ковариации активов. Коэффициент корреляции в этом случае близок к единице. Возможные значения доходности и стандартного отклонения портфеля для этого случая представлены на рисунке пунктирной линией, которая является прямой, соединяющей точки Х и У. Риск портфеля в этом случае является взвешенной суммой рисков составляющих портфель активов. Таким образом, при полной положительной ковариации активов эффект снижения риска вследствие диверсификации отсутствует. Обусловлено это тем обстоятельством, что все изменения доходности осуществляются строго в одном направлении.

Рассмотрим далее случай полной отрицательной ковариации между активами. В этом случае коэффициент корреляции равен -1. Штриховая линия, соединяющая точки Х и У позволяет вычислить стандартное отклонение и ожидаемое значение портфеля, которые можно получить при различных комбинациях активов Х и У при их полной отрицательной ковариации. Следует отметить, что ломаная линия, соединяющая точки Х и У в этом случае пересекает вертикальную ось. В точке пересечения стандартное отклонение равно нулю. Рассматриваемый случай полной отрицательной ковариации означает, что изменения активов происходит строго в противоположных направлениях. Следствием этого является снижение риска портфеля и даже его полное устранение.

Рассмотрим далее случай, когда корреляция активов имеет значение промежуточное между рассмотренными крайними случаями. На графике данная ситуация представлена сплошной линией. Этот вариант является более реалистичным, чем случаи полной положительной или полной отрицательной ковариации. Он соответствует ситуации, когда изменение активов происходит достаточно независимо друг от друга. Кривая, представленная сплошной линией иллюстрирует тот факт, что комбинирование рисковых активов в портфеле позволяет получить определенный эффект в плане снижения риска при условии, что эти активы не имеют полную положительную ковариацию. Следует отметить, что сплошная линия в данном случае не пересекает вертикальную ось и поэтому риск полностью не устраним.

Ключевым вопросом портфельного анализа является вопрос о том, какие виды риска могут быть устранены путем диверсификации. Риск, который может быть устранен посредством диверсификации, называется диверсифицируемым риском. Однако не все виды риска могут быть устранены таким образом. Риск, который остается в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле называется недиверсифицируемым. Этот вид риска называют также систематическим или рыночным риском.

Пример. Мы сформировали портфель из акций двух компаний Х и У. Эти ценные бумаги характеризуются следующими показателями доходности и риска: = 5%, = 10%, R_х = 15%, R_у = 18%. Мы видим, что акция с большей доходностью обладает и большим риском. Необходимо определить границы доходности и риска портфеля, составленного из данных акций, при значениях коэффициента корреляции: а) CR_ху = -1, б) CR_ху = 1, в) CR_ху = 0.

Анализ будем проводить для портфелей, структура которых представлена в следующей таблице:

Для расчета значения доходности и риска портфеля будем использовать следующие соотношения:

Rp = R_х*W_х R_у*W_у

= ( ²*W_х^{2 2}*W_у² 2*W_х* W_у* * *CR_xy)^1/2

Результаты расчета доходности и риска портфеля представлены в таблице и на рисунке.

Номер портфеля	Доходность портфеля Rp	Риск портфеля
CRxy = -1	CRxy = 0	CRxy = 1
	17,7	8,5		9.5
	17,4		8,1
	17,0	5,1	6,9	8,4
	16,5	2,5	5,6	7,5
	16,0		4,7	6,7
	15,6		4,5
	15,3	3,5	4,6	5,5

Результаты расчетов в данном примере подтверждают проведенный ранее качественный анализ характера зависимости доходности и риска портфеля для случаев полной положительной ковариации, полной отрицательной ковариации и ковариации находящейся между этими двумя крайними случаями.

Как было показано ранее доходность и среднеквадратичное отклонение портфеля, состоящего из двух активов определяется следующими соотношениями:

Rp = R1*W1 R2*W2

= ( ²*W_х^{2 2}*W_у² 2*W_х* W_у* * *CR_xy)^1/2

Рассмотрим задачу определение структуры портфеля, обеспечивающего минимальный уровень риска. Обозначим за W – доля актива Х в портфеле, тогда (1- W) будет доля актива У. С учетом этого выражение для стандартного отклонения портфеля будет иметь вид:

= ( ²* W ^{2 2}*(1- W)² 2* W * (1- W)* * *CR_xy)^1/2

При заданных значениях и CR_xy величина стандартного отклонения портфеля является функцией W. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной. Продифференцируем данную функция по переменной W и приравняем первую производную к нулю:

(2* ²* W– 2* ²*(1- W) 2* (1-2 W)* * *CR_xy)^1/2) ₌₀

2*( ²* W ^{2 2}*(1- W)² 2* W * (1- W)* * *CR_xy)^1/2

Из данного выражения получаем

W = ( ² – * *CR_xy)/( ^{2 2}– 2 * *CR_xy)

Полученное выражение позволяет определить удельный вес активов в портфеле, обеспечивающий минимальный риск.

Рассмотрим ряд частных случаев.

1. Между активами имеет место наибольшая отрицательная ковариация, т.е CR_xy = -1.

Выражение для удельного веса актива Х в этом случае будет иметь вид

W = ( ² * )/( ^{2 2} 2 * ) = /( )

1- W = /( )

Для нахождения среднеквадратичного отклонения портфеля необходимо подставить полученные выражения для удельных весов активов в исходное выражение для

= ( ²*W_х^{2 2}*W_у² 2*W_х* W_у* * *CR_xy)^1/2

= ( ²*[ /( )]^{2 2}*[ /( )]²-2*[ /( )]* [ /( )]* * )^1/2 = 0.

Таким образом, при абсолютной отрицательной ковариации между активами можно определить такие их удельные веса, что риск портфеля будет равен нулю.

2. Рассмотрим далее случай ковариации активов равной нулю, т.е. CR_xy = -0. Подставляя в выражение

W = ( ² – * *CR_xy)/( ^{2 2}– 2 * *CR_xy)

CR_xy = -0, Получим

W = ( ² )/( ^{2 2})

1- W = ( ² )/( ^{2 2})

Риск портфеля в этом случае будет равен

= */( ^{2 2})^1/2

2. Третий случай будет соответствовать абсолютной положительной ковариации активов Х и У. Подставим в выражение

W = ( ² – * *CR_xy)/( ^{2 2}– 2 * *CR_xy)

CR_xy = 1, Получим

W = /( – )

1- W = – /( – )

Минимальный риск портфеля в этом случае достигается при отрицательном удельном весе одного из активов в портфеле.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.

Средняя доходность активов Х и У будет равна:

R_cx = (5,5 8,1 6,2 3,4 8,5 6,0 7,0 5,0 8,0 9,0 9,5 7,5)/12 = 7,0

R_cу = (10 30 20 40 25 10 5 30 10 15 50 20)/12 = 22,1

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент корреляции равны:

= 1,8, = 13,6, CR_xy = 0,026.

Доходность и риск портфеля в зависимости от вариантов его формирования представлены в таблице:

Варианты портфелей ценных бумаг Х и У

Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности.

Выше было показано, что если портфели формируются из двух активов, то все возможные их комбинации (при данном коэффициенте корреляции) располагаются на некоторой кривой или прямой. В том случае, когда в состав портфелей включается несколько активов, их совокупность образует некоторую область. Эта область называется допустимым (достижимым)множеством (см. рис.). Число возможных портфелей, принадлежащих этой области равно бесконечности. Все они лежат либо на границе, либо внутри допустимого множества. У инвестора, однако, не возникает необходимости проводить анализ всех портфелей.

Рис. Достижимое множество портфелей

Отдельные точки внутри допустимой области, например точка А, характеризуют возможные портфели, состоящие из какого-то количества активов. Видно, что портфели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекательности для инвестора. Наиболее привлекательными портфелями являются те, которые расположены на левой верхней границе допустимого множества, т.е. находящиеся на кривой, проходящей через точки D, С, В. Так, например, рациональный инвестор предпочтет портфель С портфелю E, так как первый имеет большую доходность при том же самом уровне риска. Инвестор также предпочтет портфель D портфелю E, так как D имеет меньший риск при том же уровне доходности. Аналогичным образом можно показать, что из всего множества портфелей из допустимой области рациональный инвестор будет выбирать только портфели, находящихся на кривой D, С, В.

Множество портфелей, находящихся на кривой D, С, В – называется эффективныммножеством. Эти портфели обеспечивают максимальную доходность при заданном уровне риска и минимальный риск при заданном уровне доходности. Таким образом, инвестор при формировании оптимального портфеля должен выбирать его не из всего допустимого множества, а только из эффективного множества.

Оптимальный портфель выбирается из эффективного множества в соответствии с отношением инвестора к риску. Например, инвестор менее склонный к риску выберет портфель соответствующей точке C, а инвестор более терпимый к риску – портфель B. Характер взаимосвязи между доходностью и риском, обусловленный отношением инвесторов к риску может быть представлен в виде кривых безразличия. Такие кривые 1 и 2 изображены на рисунке. Важнейшим их свойством является то, что все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Следует иметь в виду, что кривые безразличия являются индивидуальными для каждого инвестора.

Точка касания кривой безразличия эффективного множества определяет оптимальныйпортфель. Поскольку у разных инвесторов наклон кривых безразличия неодинаков, то на одном эффективном множестве каждый из них выберет свой оптимальный портфель. Кривая безразличия 1 (см. рис.) характеризует более осторожного инвестора, кривая 3 — менее осторожного.

Мы рассмотрели задачу выбора оптимального портфеля на качественном уровне. Далее рассмотрим модель оптимизации инвестиционного портфеля, разработанную Марковицем.Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности.

Диверсификация Марковицаоснована на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе — функция Лагранжа.

² = W_i * W_j , min

где – ковариация ценных бумаг i и j.

В качестве ограничения выступаетсредняя доходность портфеля

R_р = R_iW_i,

где R_i , W_i–доходность и удельный вес включенной в портфель i – ой ценной бумаги.

При этом сумма удельных весов бумаг должна быть равна 1, т.е.

W_i. = 1.

Для того, чтобы найти решение такой задачи вводят набор переменных λ₁ и λ₂, называемых множителями Лагранжа и составляется функция Лагранжа:

L= W_i * W_j λ₁ *(R_iW_i – R_р) λ₂ *(W_i. – 1),

где λ₁, λ₂— множители Лагранжа.

Структура портфеля, имеющего минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

dL/dWi =0

dL/d λ_к, =0.

где к = 1,2.

Данная система уравнений представляет собой модель, позволяющая определить структуру оптимального портфеля.

Пример. Необходимо сформировать портфель из двух ценных бумаг Альфа и Омега, обладающий минимальным риском. Бумаги имеют следующие показатели доходности и риска: R_А = 12%, R_О = 5.1%, = 21.1%, = 8.3%., коэффициент корреляции равен 0.18. Доходность портфеля R_р должна составлять 8.9%. Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид

L = *W_А² **W_О² 2*W_А * W_О* λ₁ *(R_АW_А R_ОW_О – R_р) λ₂ *(W_А . W_О – 1).

dL/dW_А= 2 *W_А 2* W_О* λ₁ *R_А λ₂ = 0

dL/dW₂= 2 *W_А 2* W_О* λ₁ *R_О λ₂ = 0

dL/d λ₁, =R_АW_А R_ОW_О – R_р = 0.

dL/d λ₂, = W_А . W_О – 1 =0

Представим данную систему уравнений в матричном виде:

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:

Н*А = G,

А = Н^-1* G.

Рассмотрим далее задачу для случая портфеля состоящего из трех ценных бумаг:

L = *W₁² *W₂² *W₃² 2*W₁ * W₂* 2*W₁ * W₃* 2*W₂ * W₃* λ₁ *(R₁W₁ R₂W₂ R₃W₃ – R_р) λ₂ *(W₁ . W₂ W₃ – 1).

dL/dW₁= 2 *W₁ 2* W₂* 2W₃* λ₁ *R₁ λ₂ = 0

dL/dW₂= 2 *W₁ 2* W₂* 2W₃* λ₁ *R₂ λ₂ = 0

dL/dW₃= 2 *W₁ 2* W₂* 2W₃* λ₁ *R₃ λ₂

dL/d λ₁, =R₁W₁ R₂W₂ R₃W₃ – R_р = 0.

dL/d λ₂, = W₁ . W₂ W₃ – 1.

Представим данную систему уравнений в матричном виде:

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:

Н*А = G,

А = Н^-1* G.

Пример. Имеются три акции. Их параметры представлены в таблице

Номер акции	Ri
	0,06 0,09 0,18	0,35 0,42 0,75	= -0,1 = 0,42 = 0,30

Матрица Н G и Н^-1 для данной задачи будет иметь следующий вид

Удельные веса акций будут равны

Если инвестор хочет получить доходность R_р = 12%, то получим: W₁ = 0,305, W₂ = 0,259, W₃ = 0,435.

Рассмотренный пример иллюстрирует вычислительные трудности, связанные с использованием модели Марковица. Так сам Марковиц подсчитал, что анализ 100 ценных бумаг требует вычисления 100 ожидаемых значений доходности, 100 дисперсий и почти 5000 ковариаций. В связи с этим уже 1962 корпорацией IBM была разработана первая компьютерная программа для реализации модели Марковица.

Выше было показано, как формируется портфель, состоящий из рисковых активов. Инвестор, однако, может создать портфель, включающий наряду с рисковыми и безрисковый актив. Этот актив имеет нулевой риск и некоторую безрисковую доходность, которую обозначим через R_f (см. рис.). Точка R_f соответствует ситуации, когда портфель сформирован только из безрисковых активов. Комбинация безрискового и рискового актива упрощает зависимость между риском и доходностью портфеля. Точка А соответствует ситуации, когда портфель составлен только из рисковых активов. Возможные портфели сформированные из комбинации рисковых и безрисковых активов будет располагаться на прямой, соединяющей точку безрисковой доходности и точку А пересечения этой линией эффективного множества рисковых портфелей. Вид линии R_fА обусловлен отсутствием корреляционной зависимости между безрисковым активом с одной стороны и рисковым активом с другой, т.е. при комбинации рисковых и безрисковых активов эффект диверсификации не возникает.

Рассмотренное взаимоотношение между риском и доходностью известна как модель оценки капитальных активов (capital asset pricing model CAPM). В соответствии с моделью CAPM инвесторы формируют портфель не только из рисковых активов, а определяют доли средств направляемых в рисковые и безрисковые активы. Точки на прямой R_fА находящиеся вблизи точки А соответствуют портфелям, сформированным в основном их рисковых активов, а вблизи точки R_f – из безрисковых.

Рис. Достижимое множество портфелей в модели CAPM

Выбор соотношения между риском и доходностью в рамках модели CAPM существенно отличается от модели Марковица. В рамках последней модели инвесторы ищут конкретный портфель рисковых активов, соответствующий их отношению к риску. В рамках модели CAPM (Capital asset pricing model) инвестор определяет риск портфеля путем выбора соотношения между рисковыми и безрисковыми активами. Так, например, инвесторы менее склонные к риску большую часть своих средств помещают в государственные ценные бумаги, а более терпимые к риску – в корпоративные ценные бумаги.

На представленном выше рисунке можно провести сотни линий, соединяющих точку R_fи линию эффективных портфелей. Из них необходимо выбрать такую, которая является наилучшей для инвестора, т.е. обеспечивает наилучшее соотношение между доходностью и риском.

Так например портфели, лежащие на линии R_fА не являются эффективными, так как любому портфелю, лежащему на этой линии может быть противопоставлен портфель с большей доходностью при том же самом уровне риска. Например, портфель Р2 имеет более высокую доходность при том же уровне риска.

Следовательно, эффективные портфели будут лежать на линии, которая имеет наибольший наклон по отношению к горизонтальной оси. Эта линия выходит из точки R_fи является касательной по отношению к кривой, соответствующей эффективному множеству в модели Марковица. Портфели, лежащие на прямой R_fМ обеспечивают наибольшую доходность при заданном уровне риска.

Эта единственную линию называют линией рынка капитала (Capital Market Line). Точка М соответствует рыночному портфелю, т.е. портфелю составленному из всех рисковых активов. Каждый актив в рыночном портфеле представлен в пропорции соответствующий его доли на рынке. Так, например, на фондовом рынке США доля компании General Motors составляет один процент рисковых активов. Исходя из этого доля акций данной компании в рыночном портфеле также должна составлять один процент.

Уравнение линии рынка капитала имеет следующий вид

R_p = R_f [(R_m – R_f)/]* ,

Где R_p –ожидаемая доходность портфеля, состоящего из рисковых и безрисковых активов, величина (R_m – R_f)/ характеризует тангенс угла наклона линии рынка капитала.

Ранее нами были рассмотрены понятия систематического (недиверсифицируемого) и несистематического (диверсифицируемого) риска. Для измерения систематического риска используется показатель бета. Нулевое значение бета соответствует отсутствию систематического риска, а бета равное единице – систематическому риску рыночного портфеля. Если известен показатель бета актива, то его доходность в рамках модели CAPM может быть определена из следующего соотношения:

R_i = R_f β_i * (R_m – R_f),

Где R_i – ожидаемая доходность актива, R_m, R_f – доходность рыночного портфеля и безрисковая доходность, β_i – бета коэффициент актива.

Бета коэффициент акций или других ценных бумаг рассчитывается как отношение ковариации актива и рыночного портфеля и дисперсии рыночного портфеля:

β_i = / ².

Числитель представляет вклад индивидуального актива I в величину риска диверсифицированного портфеля, а знаменатель – величину риска рыночного портфеля. Таким образом, бета измеряет систематический риск относительно риска рынка в целом.

Пример. Рассмотрим процедуру вычисления бета коэффициента на примере компании Макдоналдс. В колонках 2 и 3 представлены данные по годовой доходности за 9 лет для акций компании Макдоналдс и для рынка в целом. В колонках 4 и 5 представлены разности между текущей доходностью и средней доходностью. Так, например, значение -0,1113 в колонке 4 для 1977 года получается путем вычитания из доходности акций Макдоналдс в 1997 году равной -0,0388 среднего значения доходности равной 0,0725. В колонке 6 представлены квадраты отклонения ежегодной доходности рынка от среднего значения, а в колонке 7 – произведения ежегодных отклонений доходности акций Макдоналдс и рынка.

Ковариация доходности акций Макдоналдс и рынка будет равна

CV(Rmd, Rm) = 0,1480/9 = 0,0164.

Далее определяем дисперсию рынка.

².= 0,1317/9 = 0,0146.

Бета коэффициент акций Макдоналдс найдем из следующего соотношения:

β_i =CV(Rmd,Rm) / ² = 0,0164/0,0146 = 1,123

Коэффициент бета (-коэффициента) характеризует склонность актива «двигаться» вместе со всем рынком. Иными словами характеризующего степень ее изменчивости по отношению к «средней акции», в качестве которой рассматривается акция, стремящаяся «двигаться» синхронно со всем рынком акций.

Это означает, что если доходность по рынку в целом увеличивается на 10%, то доходность «средней акции» возрастает в такой же степени, и, наоборот – при падении – падает. Портфель акций с – коэффициентом, равным единице, будет иметь такую же степень риска, как и весь рынок. Если для акции = 0,5, это означает, что ее доходность будет повышаться или падать вдвое меньше, чем у всего рынка. Портфель акций с таким -коэффициентом будет иметь вдвое меньшую степень риска по сравнению с портфелем, имеющим =1. В то же время если акция имеет = 2, то ее подвижность вдвое выше, чем у средней акции.

Важным свойством –коэффициента является то, что портфеля вычисляется как взвешенная сумма – коэффициентов составляющих его активов. При этом следует помнить, что общий риск портфеля не является взвешенной суммой составляющих его активов. Обусловлено это тем, что бета измеряет только систематический риск актива, который не является диверсифицируемым.

Исходя из вышесказанного для расчета -коэффициента портфеля акций может быть использовано следующее соотношение

_p = ₁*W_{1 2}*W₂ … _n*W_n,

Например, инвестор имеет 40 тыс. долл. и сформировал портфель из четырех акций, вложив в каждый вид акций по 10 тыс. долл. Если каждая акция имеет = 0,8, то бета такого портфеля также будет равен 0,8:

_p = 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 = 0,8.

Такой портфель будет менее рисковым, чем весь рынок акций, и будет испытывать меньшее колебание доходности по сравнению со всем рынком. Теперь представим, что одна из акций продана и заменена акцией, имеющей = 2, тогда риск портфеля увеличится и его бета возрастет:

_p = 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 2,0 х 0,25 =1,1.

Если одну из акций заменить на акцию с = 0,2, то бета портфеля снизится и составит:

_p = 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 0,8 х 0,25 0,2 х 0,25 = 0,65.

Таким образом, риск портфеля может быть снижен путем включения в портфель акций, имеющих низкое значение -коэффициента.

В таблице представлены –коэффициенты некоторых отечественных и зарубежных компаний.

Опционы

Сущность опциона, основные понятия

В последнее десятилетие заметно усилилось внимание к так называемым производным финансовым инструментам (derivative securities). Термин “производный” связан с тем, что стоимость такого инструмента как бы привязывается к стоимости того или иного базисного финансового инструмента (underlying securities) и становится по отношению к нему производной величиной. Под опционом (options) понимают право, но не обязательство, купить/продать некоторые финансовые инструменты, акции или валюту по оговоренной цене при наступлении срока или до него. Опционы используются также и при приобретении реальных активов. Так, например, при покупке или аренде земли, приобретении крупных активов корпорации часто покупают опцион на возможность дополнительного приобретения этих активов. Это дает возможность при расширении деятельности зафиксировать цену активов. При эмиссии ценных бумаг корпорации часто оговаривают возможность их выкупа. В ряде контрактов на поставку, страховых, трудовых и пр. оговаривается возможность сторон прекратить договор или изменить его условия. Все эти права также являются опционами. Организованная торговля опционами началась в 1973 году и в настоящее время опционы являются важнейшим инструментом управления рисками.

Таким образом, опцион представляет собой контракт, дающий право его владельцу совершить сделку или отказаться от нее. К условиям контракта чаще всего относятся цена сделки и время ее завершения. За получение этого права покупатель опциона (buyer, holder) при заключении контракта уплачивает продавцу (seller, writer) некоторую премию (premium). Последняя представляет собой рыночную цену опциона. Таким образом, само право в этой операции становится товаром.

Различают опционы на право покупки (call option) и на право продажи (put option). Для сокращения записи, опцион на право покупки часто называют опцион колл, опцион на право продажи – опцион пут. Опцион, который может быть реализован только в оговоренный в контракте день, день исполнения (expiration day, day of maturity), называют европейским. Если предусматривается возможность исполнения опциона в любой момент до этого дня, то такой опцион называют американским. Заметим, что приведенные названия не определяют место сделки. Например, американский опцион может быть куплен и в Европе. Оговоренная в контракте цена объекта опциона называется объявленной, договорной ценой, или ценой исполнения (striking price, exercise price).

Можно сказать, что опцион является особым случаем форвардной операции. Он отличается от форвардной операции прежде всего тем, что владелец опциона может реализовать свое право на сделку или отказаться от ее исполнения. Если сделка не исполняется (отказ от исполнения), то владелец опциона несет потери только в размере выплаченной им премии.

Охарактеризуем опционы колл и пут с позиций как покупателя, так и продавца. Исполнение опциона может быть реализовано в нескольких вариантах. Рассмотрим их применительно к опциону колл при покупке акции. Если есть основание ожидать, что цена акций компании G будет расти (оптимистический прогноз) в течение некоторого периода, то инвестор может купить опцион колл. Пусть условия опциона таковы: цена исполнения 900, премия 50. Допустим в день исполнения рыночная цена акции оказалась равной 1050. Владелец опциона использует свое право и покупает их по цене исполнения, получая прибыль в размере 1050 – (900 50) = 100 на одну акцию. Таким образом, опцион реализуется и приносит доход. Опцион может быть реализован и без непосредственной покупки акции — путем получения владельцем опциона разности между рыночной ценой акции и ценой исполнения. Если рыночная цена акции равна 950, то прибыль инвестора будет нулевая: 950 – (900 50) = 0. В этом случае для владельца опциона безразлично, купить ли акцию на рынке без опциона или использовать опцион. В обоих решениях его издержки одинаковы. Наконец, при цене ниже 950 покупатель отказывается от исполнения опциона и несет убытки. Таким образом, в данном примере максимальный убыток равен премии – 50 рублей, а размер прибыли не ограничен.

Приведенный пример иллюстрируется на графике “прибыль – рыночная цена акции” (см. рис.). Следует обратить внимание на то, что приведенные расчеты прибыли не учитывают разновременность расходов владельца опциона, т.е. премия выплачивается при покупке опциона, а покупка акции осуществляется в день исполнения.

Обратимся к положению продавца опциона колл в этой сделке. Очевидно, что прибыль/потери продавца опциона “симметричны” потерям/прибыли покупателя опциона: там, где у покупателя — доход, у продавца — потеря, и наоборот. Максимальная прибыль равна 50, размер убытка не ограничен. Если цена акции компании G превышает 950, то продавец несет убытки (см. рис.).

Рис. График зависимости прибыли покупателя от рыночной цены

Рис. График зависимости прибыли продавца от рыночной цены

Перейдем к опционам пут (напомним, что это опцион на право продажи). Пусть ожидается падение цены акций компании G (пессимистический прогноз). В этой ситуации можно продать опцион колл. Однако, как только что было показано, позиция продавца оказывается довольно рискованной. Вместо этого он предпочитает купить опцион пут. Условия опциона: цена исполнения 870, премия 40.

Картина зависимости “прибыль—цена акции” для покупателя опциона пут в этой ситуации кардинальным образом меняется. Если рыночная цена акции меньше 870 – 40 = 830, то покупатель опциона имеет прибыль. Например, при цене акции 810 прибыль составит 870 – (810 40) = 20. При цене 830 прибыль нулевая, так как 870 – (830 40) = 0, а при цене, превышающей 830, имеет место убыток, максимальная величина которого составляет 40.

Как было показано, положения покупателя и продавца опциона в отношении прибыли являются “зеркальными отображениями”. Различаются они и по моменту получения ожидаемой прибыли. Продавец получает ее немедленно, покупатель — в момент реализации опциона.

Приведем пример валютного опциона. Ограничимся при этом позицией покупателя опциона колл.

Пример1.Импортер, который имеет рубли и в будущем должен выплатить некоторую сумму в долларах США, приобретает опцион на право покупки долларов по курсу 1 долл. США = 28 рублей и выплачивает премию 0,5 рубля за 1 долл. При наступлении срока валютирования возможны следующие варианты завершения операции, определяемые движением курса доллара.

1. Курс доллара упал до 27 рублей. В этом случае покупатель не использует опцион и покупает доллары на рынке. Его результаты:

разность между курсом опциона и рыночным курсом: 28-27=1,0

премия: -0,5

условная прибыль от опциона в расчете на 1 долл.: 0,5

2. Курс доллара вырос до 29 рублей. Покупатель опциона использует свое право на покупку валюты по цене исполнения (оговоренному курсу). Результат: реальная прибыль в размере 29 – (28 0,5) = 0,5 рубля на 1 долл.

3. Курс равен 28. Покупатель опциона может его использовать или отказаться от него и купить валюту на рынке. В обоих случаях его расходы равны 28,5, т.е. потери относительно рыночного курса равны премии (0,5).

4.Курс превышает цену исполнения, но это превышение меньше премии. Если покупатель все же реализует опцион, то потери также меньше премии. Пусть курс равен 28,3, потери равны 28,3 – 28,5 = 0,2 на 1 долл.

Приобретение права на покупку объекта опциона имеет смысл при ожидании повышения его цены. Право на продажу, очевидно, покупается при ожидании снижения цены. Как видно из приведенных рисунков, область изменения рыночной цены акции делится на два интервала, доходный (in the money) и бездоходный (out the money), разделяемые ценой исполнения сделки. Для опциона колл в доходном интервале рыночная цена больше цены исполнения, их разность положительна (на рис. интервал цен, превышающих 950). В бездоходном интервале разность рыночной цены и цены исполнения отрицательна. Наконец, при равенстве рыночной цены цене исполнения имеем так называемый нейтральный опцион (at the money). Аналогичные по содержанию интервалы можно выделить и при покупке опциона пут.

Ограниченные потери и теоретически неограниченный доход делают опционы привлекательным инструментом для инвесторов.

Помимо простых схем опциона, которые были только что охарактеризованы, на практике прибегают и к более сложным, комбинированным схемам. Такие схемы предполагают одновременную покупку двух, трех опционов с различными характеристиками. Основное назначение комбинированных схем — гарантирование владельца опциона от значительных потерь. Например, одновременно покупается и продается опцион колл по разным ценам исполнения и с различными премиями, одновременно используются опционы пут и колл при одинаковой или различных ценах исполнения, двух опционов колл с различными ценами исполнения и одного опциона пут и т.д. Естественно, что чем больше простых опционов охватывает комбинированная схема, тем сложнее ее осуществить – труднее найти контрагентов по сделке.

Как было показано выше, реальные прибыль или потери от опциона для обеих участвующих сторон зависят от цены исполнения, рыночной цены актива на момент исполнения опциона и премии. В условиях развитого рынка опционов цена исполнения устанавливается на бирже опционов. Обычно это величина, близкая к текущей рыночной цене актива. Если биржа опционов отсутствует, то единственный путь установления цены исполнения — непосредственная договоренность покупателя и продавца опциона. Предлагаемая продавцом цена должна быть конкурентоспособной и в то же время обеспечить ему некоторую прибыль.

Опционы представляют определенный интерес не только в практическом плане, но и в теоретическом — с позиции количественного анализа, который осуществляется с помощью разработки специальных моделей (option models), описывающих взаимосвязи основных параметров опционов. Следует, однако, заметить, что теоретические цены опционов, полученные по моделям, в силу неполноты учета экономических условий и их изменчивости, условности входящих статистических данных, как правило, отличаются от рыночных. Вместе с тем, принято считать, что если рыночная цена опциона сильно занижена относительно теоретической цены, то есть основание для его покупки.

Наиболее известной моделью определения цены опциона является модель Блека—Шоулза (Black—Scholes). Рассмотрим ее применительно к опционам колл для обыкновенных акций. Ранее мы говорилось о том, что цены опционов определяются на рынке и зависят от ряда известных и неизвестных на момент его покупки параметров. К их числу следует отнести:

· текущая цена базисного инструмента,

· уровень цены исполнения,

· стандартное отклонение доходности базисного инструмента,

· срок исполнения опциона,

· размер безрисковой ставки.

Одной из наиболее важных зависимостей в моделях ценообразования опционов является зависимость между ценной опциона и ценой базисного актива.

При низкой стоимости базисного актива относительно цены исполнения цена опциона является также низкой и имеет тенденцию незначительного роста при росте стоимости базисного актива. На данном рисунке цена исполнения опциона составляет 20 рублей. Если цена акций растет, но остается существенно меньшей цены исполнения, то это не приводит к существенному росту цены опциона. Если цена акций существенно превышает цену исполнения, то цена опциона изменяется в соответствие с изменением цены базисного актива.

Вторым параметром, определяющим цену опциона, является цена его исполнения. Она остается постоянной в течение времени жизни опциона. В модели Блека—Шоулза цена опциона и цена исполнения связаны обратной зависимостью. Обусловлено это тем, что опцион становится прибыльным только в том случае, если цена базисного актива превышает цену исполнения.

Третьим параметром является стандартное отклонение доходности базисного актива. В модели Блека—Шоулза цена опциона возрастает при росте стандартного отклонения и соответственно риска базисного актива. Такой характер зависимости обусловлен тем, что опцион является финансовым инструментом с неограниченным потенциалом прибыльности при ограниченных возможностях потерь. В результате при возрастании изменчивости (волатильности) базисного инструмента возможности получения большей прибыли увеличиваются. При этом возможные потери остаются на прежнем уровне.

Четвертым параметром в модели Блека—Шоулза является срок исполнения опциона. Поскольку большинство опционов позволяют их держателям исполнить опцион в любой момент в течение срока его жизни, то их цена связана со сроком исполнения прямой зависимостью. Более длительный срок исполнения создает большие возможности для повышения цены базисного актива.

Последним параметром в модели Блека—Шоулза является размер безрисковой ставки. Для понимания влияния данного параметра на цену опциона рассмотрим следующий пример. Предположим, что вы ожидаете рост стоимости акций в будущем и решили их приобрести. Инвестиции при этом могут быть произведены как в сами акции, так и в опцион на их приобретение. Если вы инвестируете средства в акции, то ваши инвестиции будут соответствовать текущей стоимости акций. Если вы приобретаете опцион, то текущие инвестиции будут равны цене опциона, а будущие – цене исполнения. Таким образом при приобретении опциона вы фактически откладываете оплату приобретаемых акций на будущее. В результате при повышении безрисковой ставки эффективность приобретения опциона увеличивается.

Все названные факторы учитываются в формуле Блека—Шоулза.

CALL = P* N(d₁) – E*e^-rt * N(d₂)

Где:

CALL — цена опциона,

P — текущая цена акции, Е — цена исполнения,

e^–rt — дисконтный множитель на срок t по непрерывной ставке?

t — срок до даты исполнения,

r — непрерывная процентная ставка, принятая для дисконтирования,

N(d₁) и N(d₂) — функции нормального распределения,

d₁ = [ln(P/E) (r 0,5*²)*t]/( √t),

d₂ = d₁ – √t

Величина E*e^–rtпредставляет собой дисконтированную на момент покупки опциона цену исполнения. Функции нормального распределения (плотности вероятности) определяются для параметров d₁и d₂.

Пример 1. Колл опцион дает право на приобретение акций компании А по цене 20 рублей за штуку. До срока исполнения остается 0,5 года. Безрисковая ставка равна 5% и стандартное отклонение доходности акций составляет 0,3. Стоимость акций в настоящее время составляет 25 рублей за штуку. Необходимо определить цену опциона.

Шаг 1. Рассчитываем значения величин d₁и d_2.

d₁ = [ln(P/E) (r 0,5*²)*t]/( √t),

d₁ = [ln(25/20) (0,05 0,5*0,045)*0,5]/(0,3√0,5),

d₁ = [0,22314 0,095*0,5]/0,2121

d₁ = 1,276.

d₂ = d₁ – √t

d₂ = 1,276 – 0,3 * √0,5

d₂ = 1,064.

Шаг 2. Рассчитываем значения N(d₁) и N(d2). Величины N(d₁) и N(d2) находим по таблице нормального распределения или рассчитываем при помощи Exel. В нашем примере

N(d₁) = 0,899,

N(d2).= 0,8563.

Шаг 3 Рассчитываем стоимость опциона

CALL = P* N(d₁) – E*e^-rt * N(d₂)

CALL = 25* 0,899 – 20*e^-0,05*0,5 * 0,8563 = 5,77.

Пример 2.

4 октября 200 г. цена закрытия опциона компании Х со сроком исполнения 21 апреля 2001 г. и ценой исполнения $49 составила $4. Базовые акции продаются по цене $50. 4 октября срок до исполнения составляет 199 дней. Непрерывно начисляемая безрисковая ставка равна 7%. Дисперсия доходности акций составляет 0,09.

Шаг 1. . Рассчитываем значения величин d₁и d_2.

d₁ = [ln(P/E) (r 0,5*²)*t]/( √t),

d₁ = [ln(50/49) (0,07 0,5*0,09)*199/365]/(√0,09*199/365) = 0,3742

d₂ = d₁ – √t

d₂ = 0,3742 – √0,09*199/365 = 0,1527.

Шаг 2. Рассчитываем значения N(d₁) и N(d2).

Величины N(d₁) и N(d2) находим по таблице нормального распределения или рассчитываем при помощи Exel. В нашем примере N(d₁) = 0,6459 и N(d2) = 0,5607

Шаг 3 Рассчитываем стоимость опциона

CALL = P* N(d₁) – E*e^-rt * N(d₂)

CALL = 50* 0,6459 – 49*e^{-0,07*199/365} * 0,5607= 5,85.

Таким образом, цена опциона, полученная с помощью модели Блэка-Шоулза оказалась выше, чем цена на рынке. Это означает, что опцион недооценен и для инвестора целесообразно приобретение данного опциона.

Тесты по дисциплине:

Демонстрационные и интерактивные модели

Для освоения дисциплиныкафедра предлагает медиалекции по темам раздела кредит и банки. Имеются на кафедре и в библиотеке МГУТУ электронные версии учебников.

Электронные практические занятия по дисциплине

Все практические занятия по дисциплине проводятся на компьютерах в компьютерном классе. Самостоятельная работа студентов проводится на компьютере и электронная версия отправляется на адрес кафедры finance@list.ru.

Материалы, устанавливающие порядок текущего и промежуточного контроля

Тесты по дисциплине:

Тест №1

1. При использовании формулы сложных процентов процент начисляется:

· на сумму основного долга

· на ранее начисленные проценты

· на ранее начисленные проценты и на сумму основного долга

2. При использовании формулы простых процентов процент начисляется:

· на сумму основного долга

· на ранее начисленные проценты

· на ранее начисленные проценты и на сумму основного долга

3. Дисконтирование – это:

· определение текущей стоимости будущих денежных средств

· определение будущей стоимости денежных средств

· приведение будущих денежных средств к текущему моменту времени

4. Аннуитет представляет собой:

· частный случай денежного потока

· поток равных сумм платежей за ряд периодов

· поток различных сумм за ряд периодов

· единичный платеж в будущем

5. Метод аннуитета применяется при расчете:

· равных сумм платежей за ряд периодов

· различных сумм за ряд периодов

6. Величина процентной ставки по любому виду кредита или инструмента с фиксированным доходом зависит от следующих факторов:

· расчетной денежной единицы

· срока платежа

· от организационной формы предприятия-кредитора

· риска невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения

7. Величина эффективной процентной ставки зависит от следующих факторов:

· номинальной годовой ставки

· срока платежа

· риска невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения

· числа начислений процента в течение года

8. Три основных фактора, определяющих NPV

· размер чистого денежного потока

· величина ставки дисконтирования

· уровень безработицы

· уровень инфляции

· срок жизни проекта

9. Принятие решения о вложении средств в инвестиционный проект целесообразно при условии

· NPV>0

· NPV<0

· NPV=0

10. Внутренняя норма доходности – это такое значение дисконтной ставки, при которой:

· NPV>0

· NPV<0

· NPV=0

11. Текущая стоимость аннуитета зависит от:

· величины платежей

· уровня инфляции

· величины процентной ставки

· количества платежей

12. Текущая стоимость бессрочного аннуитета зависит от:

· величины платежей

· уровня инфляции

· величины процентной ставки

· количества платежей

13. При погашении кредита периодическими равномерными платежами каждый платеж представляет собой:

· процент на остаток долга и часть основной суммы долга

· процент на весь долга и часть основной суммы долга

· процент на остаток долга

· процент на весь долга

· часть основной суммы

14. При погашении кредита периодическими равномерными платежами в каждом последующем платеже сумма выплаты основного долга:

· остается постоянной

· возрастает

· убывает

· подвержена определенным колебаниям

15. Влияние инфляции проявляется в:

· снижение номинальной стоимости будущих денежных поступлений

· снижение реальной стоимости будущих денежных поступлений

· увеличение реальной стоимости будущих денежных поступлений

· она не оказывает влияние на стоимость будущих денежных поступлений

16. При анализе долгосрочных инвестиций в условиях инфляции необходимо:

· использовать при расчете стоимости денег номинальную процентную ставку

· использовать при расчете стоимости денег реальную процентную ставку

· корректировать номинальную стоимость будущих денег на индекс роста цен

17. В условиях инфляции номинальная и реальная процентные ставки связаны соотношение:

· номинальная ставка равна реальной ставки

· номинальная ставка больше реальной ставки

· номинальная ставка меньше реальной ставки

· в условиях низкой инфляции номинальная ставка превышает реальную примерно на величину инфляции

Тест №2

18. Цена облигации может быть:

· теоретической

· рыночной

· курсовой

· эмиссионной

· купонной

· погашения

19. Возвратный поток денежных средств от владения облигациями включает в себя:

· проценты

· стоимость на момент погашения

· дивиденды

· часть чистой прибыли

20. Возвратный денежный поток от владения акциями включает в себя

· дивиденды

· проценты

· стоимость на момент погашения

· амортизационные отчисления

21. В зависимости от способа выплаты дохода облигации подразделяются на:

· купонные

· дисконтные

· обыкновенные

22. При увеличении процентной ставки при прочих равных условиях рыночная цена ранее эмитированных облигаций будет:

· расти

· падать

· оставаться без изменения

23. При увеличении срока погашения облигации при прочих равных условиях рыночная цена облигации будет:

· расти

· падать

· оставаться без изменения

24. При увеличении купонной ставки при прочих равных условиях теоретическая цена облигации будет:

· расти

· падать

· оставаться без изменения

25. Текущая доходность облигации зависит от:

· величины процентного дохода

· процентной ставки

· цены облигации

· уровня инфляции

26. Доходность облигации к погашению определяется как ставка дисконтирования:

· при которой приведенная стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации

· соответствующая текущей рыночной доходности облигаций с соответствующим уровнем риска

· при которой теоретическая цена равна покупной цене

27. Доходность бескупонной облигации зависит от следующих параметров:

· номинальной цены облигации

· эмиссионной цены облигации

· цены приобретения

· срока погашения

· величины процентных выплат по облигации

28. Цена акции может быть:

· книжной

· рыночной

· курсовой

· выкупной

· балансовой

29. Акции могут быть:

· бескупонными

· простыми

· привилегированными

· муниципальными

30. Возвратный денежный поток от использования акций включает в себя

· цену продажи

· дивиденды

· проценты

· цену приобретения

31. Если акция приобретается на вторичном рынке, то ценой приобретения является цена:

· эмиссионная

· теоретическая

· рыночная

· номинальная

32. Если акция приобретается у эмитента, то ценой приобретения является цена:

· эмиссионная

· рыночная

· номинальная

33. Акции … конкретный срок погашения

· не имеют

· имеют

34. Дивидендная доходность привилегированных акций по сравнению с дивидендной доходностью простых акций в среднем:

· ниже

· выше

35. Требуемая норма прибыли по акциям определяется как сумма двух показателей:

· безрисковой ставки

· уровня инфляции

· премии за риск

· ставки рефинансирования

36. Доход по обыкновенным акциям складывается из:

· дивидендных выплат

· цены погашения

· процентных выплат

· роста курсовой стоимости

37. Если компания не распределяет всю прибыль между акционерами, а направляет её на развитие производства, то показатель прибыли, приходящийся на одну обыкновенную акцию, в будущем будет при прочих равных условиях:

· расти

· оставаться без изменения

· падать

38. Рыночная цена акции выше, чем её внутренняя стоимость. Данная ситуация свидетельствует о том, что эти акции необходимо:

· покупать

· продавать

39. Если внутренняя реальная стоимость акции превышает текущий рыночный курс, то такая акция считается:

· переоцененной

· недооцененной

· правильно оцененной

40. Если внутренняя реальная стоимость акции меньше текущего рыночного курса, то такая акция считается:

· переоцененной

· недооцененной

· правильно оцененной

41. Возвратный денежный поток от использования акции включает в себя

· амортизационные отчисления

· цена продажи

· часть чистой прибыли

· дивиденды

42. Если инвестор предполагает держать акцию достаточно долго, то ее цена зависит от следующих параметров:

· амортизационных отчислений

· цены продажи

· требуемой нормы прибыли

· размера дивидендных выплат

· темпа роста дивидендов

· периода владения акцией

43. Наиболее общей моделью определения цены акций является модель:

· постоянных дивидендов

· постоянного роста дивидендов

· переменного роста дивидендов

· модель Гордона

44. Если корпорация находится на стадии роста то дивидендные выплаты, как правило:

· низки

· имеют тенденцию постоянного роста

· высоки

· являются стабильными

45. Если корпорация находится на стадии зрелости то дивидендные выплаты, как правило:

· низки

· имеют тенденцию постоянного роста

· высоки

· являются стабильными

46. Если корпорация находится на стадии упадка то дивидендные выплаты, как правило:

· низки

· имеют тенденцию постоянного роста

· высоки

· являются стабильными

· зависят от ряда факторов

47. Текущая доходность акций зависит от:

· величины дивидендов

· рыночной цены акций

· цены приобретения акций

· цены продажи

· числа периодов владения

48. Текущая рыночная доходность акций зависит от:

· величины дивидендов

· рыночной цены акций

· цены приобретения акций

· цены продажи

· числа периодов владения

49. Конечная доходность акций зависит от:

· величины дивидендов

· рыночной цены акций

· цены приобретения акций

· цены продажи

· числа периодов владения

Тест №3

50. Для измерения риска, связанного с ценными бумагами используются показатели

· вариации

· дисперсии

· ковариации

· стандартизации

· стандартного отклонения

51. Доходность ценной бумаги тем выше, чем риск по ней:

· выше

· ниже

52. Дисперсия измеряется в тех же единицах, что и результат (в процентах, в денежных единицах и т.д.), но возведенных в квадрат

· да

· нет

53. Стандартное отклонение доходности проекта характеризует:

· доходность проекта

· риск проекта

· период окупаемости проекта

54. Средний уровень риска, как правило, имеют следующие ценные бумаги

· обыкновенные акции

· корпоративные облигации

· государственные облигации

55. Несистематический риск является:

· диверсифицируемым

· недиверсифицируемым

56. Систематический риск является…

· недиверсифицируемым

· диверсифицируемым

57. Несистематический (внутренний) риск инвестирования вызывается следующими причинами

· военными действиями в стране

· нерациональной структурой инвестирования предприятия

· политической нестабильностью

· неквалифицированным руководством предприятия

· экономическим спадом в стране

58. Несистематический (внутренний) риск инвестирования в ценные бумаги определяется показателем

· срок окупаемости

· индекс рентабельности

· среднеквадратичное отклонение

· чистый дисконтированный доход

59. Специфический риск характеризуется признаками

· определяется внешними событиями, воздействующими на рынок в целом

· инвестор может повлиять на факторы его возникновения при выборе объектов инвестирования

· может быть устранен диверсификацией вложений

· присущ конкретному объекту инвестирования

· не может быть устранен диверсификацией и эффективным управлением инвестиционным портфелем

60. Снизить инвестиционный риск позволяет

· диверсификация

· дисперсия

· диспансеризация

· диверсия

61. Показатель взаимосвязи изменения стоимости двух ценных бумаг носит название …

62. Риск портфеля измеряется с помощью показателей

· ковариация

· дисперсия

· диспансеризация

· корреляция

· стандартное отклонение

63. Отрицательное значение коэффициента «бета» свидетельствует о том, что цена акции изменяется в направлении:

· соответствующем направлению движения рынка

· обратном общему изменению рынка

64. Портфель имеет средний уровень риска, если коэффициент бета

· меньше 1

· больше 2

· равен 1

· равен 0

· больше 1

65. Для максимального снижения риска портфеля в него необходимо включать активы, характеризующиеся … ковариацией

· положительной

· отрицательной

· равной 1

· равной 0

66. Для измерения риска, связанного с отдельной ценной бумагой, используются показатели вариации и стандартной девиации. Для оценки риска портфеля используется показатель…

67. Коэффициент бета измеряет … риск

· экологический

· допустимый

· политический

· недиверсифицируемый

· пополняемый

· несбалансированный

68. В модели Марковица оптимальные портфели должны принадлежать

· допустимому множеству, составленному из рисковых активов

· эффективному множеству

· прямой, касательной области допустимого множества

69. В модели CAPM оптимальные портфели должны принадлежать

· допустимому множеству, составленному из рисковых активов

· эффективному множеству

· прямой, касательной области допустимого множества

22.Понятие процента и процентных ставок. Виды процентных ставок. Простой и сложный процент

23.Процессы наращения по простому и сложному проценту

24.Номинальная и эффективная процентные ставки

25.Определение настоящей и будущей стоимости одного платежа

26.Функции сложного процента

27.Аннуитет как вид потока платежей. Параметры аннуитета. Классификация аннуитетов в зависимости от типов его параметров

28.Определение настоящей и будущей стоимости обычного аннуитета

29.Определение параметров обычного аннуитета

30.Схема выплаты долга постоянными срочными платежами

31.Методы определения эффективности финансовой деятельности. Критерии эффективности финансовой деятельности

32.Расчет чистой приведенной стоимости

33.Расчет внутренней нормы прибыли

34.Принципы определения стоимости ценных бумаг

35.Определение цены купонной облигации

36.Определение цены купонной облигации при выплате процентов несколько раз в год

37.Текущая доходность облигации

38.Доходность облигации к погашению

39.Доходность облигации за период владения

40. Цена и доходность бескупонной облигации

41.Цена и доходность сертификата

42.Цена и доходность процентного векселя

29. Специфика определения стоимости акций

30. Определение цены привилегированных акций

31. Специфика определение цены обыкновенных акций при использовании прибыли на развитие компании

32. Специфика определение цены обыкновенных акций при использовании прибыли на выплату дивидендов

33. Определение цены акций при постоянном темпе роста дивидендов

34. Модели переменного роста величины дивидендов

35. Показатели доходности акции

38. Оценка рискованности вложений в акции

39. Определение доходности портфеля

40. Снижение риска посредством диверсификации

41. Показатели взаимосвязи двух ценных бумаг: ковариация, корреляция

42. Модель Марковица

43. Модель Шарпа

44. Сущность опциона

45. Опционы колл и пут

46. Модель Блека-Шоулза

1. Понятие процента и процентных ставок. Виды процентных ставок. Простой и сложный процент

2. Процессы наращения по простому и сложному проценту

3. Номинальная и эффективная процентные ставки

4. Определение настоящей и будущей стоимости одного платежа

5. Функции сложного процента

6. Аннуитет как вид потока платежей. Параметры аннуитета. Классификация аннуитетов в зависимости от типов его параметров

7. Определение настоящей и будущей стоимости обычного аннуитета

8. Определение параметров обычного аннуитета

9. Схема выплаты долга постоянными срочными платежами

10.Методы определения эффективности финансовой деятельности. Критерии эффективности финансовой деятельности

11.Расчет чистой приведенной стоимости

12.Расчет внутренней нормы прибыли

13.Принципы определения стоимости ценных бумаг

14.Определение цены купонной облигации

15.Определение цены купонной облигации при выплате процентов несколько раз в год

16.Текущая доходность облигации

17.Доходность облигации к погашению

18.Доходность облигации за период владения

19. Цена и доходность бескупонной облигации

20.Цена и доходность сертификата

21.Цена и доходность процентного векселя

22. Специфика определения стоимости акций

23. Определение цены привилегированных акций

24. Специфика определение цены обыкновенных акций при использовании прибыли на развитие компании

25. Специфика определение цены обыкновенных акций при использовании прибыли на выплату дивидендов

26. Определение цены акций при постоянном темпе роста дивидендов

27. Модели переменного роста величины дивидендов

28. Показатели доходности акции

29. Оценка рискованности вложений в акции

30. Определение доходности портфеля

31. Снижение риска посредством диверсификации

32. Показатели взаимосвязи двух ценных бумаг: ковариация, корреляция

33. Модель Марковица

34. Модель Шарпа

35. Сущность опциона

36. Опционы колл и пут

37. Модель Блека-Шоулза

Тест №1

1. При использовании формулы сложных процентов процент начисляется:

а) на сумму основного долга

б) на ранее начисленные проценты

в) на ранее начисленные проценты и на сумму основного долга

2. При использовании формулы простых процентов процент начисляется:

а) на сумму основного долга

б) на ранее начисленные проценты

в) на ранее начисленные проценты и на сумму основного долга

3. Дисконтирование – это:

а) определение текущей стоимости будущих денежных средств

б) определение будущей стоимости денежных средств

в) приведение будущих денежных средств к текущему моменту времени

4. Аннуитет представляет собой:

а) частный случай денежного потока

б) поток равных сумм платежей за ряд периодов

в) поток различных сумм за ряд периодов

г) единичный платеж в будущем

5. Метод аннуитета применяется при расчете:

а) равных сумм платежей за ряд периодов

б) различных сумм за ряд периодов

6. Величина процентной ставки по любому виду кредита или инструмента с фиксированным доходом зависит от следующих факторов:

а) расчетной денежной единицы

б) срока платежа

в) от организационной формы предприятия-кредитора

г) риска невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения

7. Величина эффективной процентной ставки зависит от следующих факторов:

а) номинальной годовой ставки

б) срока платежа

в) риска невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения

г) числа начислений процента в течение года

8. Три основных фактора, определяющих NPV

a. размер чистого денежного потока

б) величина ставки дисконтирования

в)уровень безработицы

г) уровень инфляции

д) срок жизни проекта

9. Принятие решения о вложении средств в инвестиционный проект целесообразно при условии

а) NPV>0

б) NPV<0

в) NPV=0

10. Внутренняя норма доходности – это такое значение дисконтной ставки, при которой:

а) NPV>0

б) NPV<0

в) NPV=0

11. Текущая стоимость аннуитета зависит от:

а) величины платежей

б) уровня инфляции

в) величины процентной ставки

г) количества платежей

12. Текущая стоимость бессрочного аннуитета зависит от:

а) величины платежей

б) уровня инфляции

в) величины процентной ставки

г) количества платежей

13. При погашении кредита периодическими равномерными платежами каждый платеж представляет собой:

а) процент на остаток долга и часть основной суммы долга

б) процент на весь долга и часть основной суммы долга

в) процент на остаток долга

г) процент на весь долга

д) часть основной суммы

14. При погашении кредита периодическими равномерными платежами в каждом последующем платеже сумма выплаты основного долга:

а) остается постоянной

б) возрастает

в) убывает

г) подвержена определенным колебаниям

15. Влияние инфляции проявляется в:

а) снижение номинальной стоимости будущих денежных поступлений

б) снижение реальной стоимости будущих денежных поступлений

в) увеличение реальной стоимости будущих денежных поступлений

г) она не оказывает влияние на стоимость будущих денежных поступлений

16. При анализе долгосрочных инвестиций в условиях инфляции необходимо:

а) использовать при расчете стоимости денег номинальную процентную ставку

б) использовать при расчете стоимости денег реальную процентную ставку

в) корректировать номинальную стоимость будущих денег на индекс роста цен

17. В условиях инфляции номинальная и реальная процентные ставки связаны соотношение:

а) номинальная ставка равна реальной ставки

б) номинальная ставка больше реальной ставки

в) номинальная ставка меньше реальной ставки

г) в условиях низкой инфляции номинальная ставка превышает реальную примерно на величину инфляции

Тест №2

18. Цена облигации может быть:

а) теоретической

б) рыночной

в) курсовой

г) эмиссионной

д) купонной

е) погашения

19. Возвратный поток денежных средств от владения облигациями включает в себя:

а) проценты

б) стоимость на момент погашения

в) дивиденды

г) часть чистой прибыли

20. Возвратный денежный поток от владения акциями включает в себя

а) дивиденды

б) проценты

в) стоимость на момент погашения

г) амортизационные отчисления

21. В зависимости от способа выплаты дохода облигации подразделяются на:

а) купонные

б) дисконтные

в) обыкновенные

22. При увеличении процентной ставки при прочих равных условиях рыночная цена ранее эмитированных облигаций будет:

а) расти

б) падать

в)оставаться без изменения

23. При увеличении срока погашения облигации при прочих равных условиях рыночная цена облигации будет:

а) расти

б) падать

в)оставаться без изменения

24. При увеличении купонной ставки при прочих равных условиях теоретическая цена облигации будет:

а) расти

б) падать

в) оставаться без изменения

25. Текущая доходность облигации зависит от:

а) величины процентного дохода

б) процентной ставки

в) цены облигации

г) уровня инфляции

26. Доходность облигации к погашению определяется как ставка дисконтирования:

а) при которой приведенная стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации

б) соответствующая текущей рыночной доходности облигаций с соответствующим уровнем риска

в) при которой теоретическая цена равна покупной цене

27. Доходность бескупонной облигации зависит от следующих параметров:

а) номинальной цены облигации

б) эмиссионной цены облигации

в) цены приобретения

г) срока погашения

д) величины процентных выплат по облигации

28. Цена акции может быть:

а) книжной

б) рыночной

в) курсовой

г) выкупной

д) балансовой

29. Акции могут быть:

а) бескупонными

б) простыми

в) привилегированными

г) муниципальными

30. Возвратный денежный поток от использования акций включает в себя

а) цену продажи

б) дивиденды

в) проценты

г) цену приобретения

31. Если акция приобретается на вторичном рынке, то ценой приобретения является цена:

а) эмиссионная

б) теоретическая

в) рыночная

г) номинальная

32. Если акция приобретается у эмитента, то ценой приобретения является цена:

а) эмиссионная

б) рыночная

в) номинальная

33. Акции … конкретный срок погашения

а) не имеют

б) имеют

34. Дивидендная доходность привилегированных акций по сравнению с дивидендной доходностью простых акций в среднем:

а) ниже

б) выше

35. Требуемая норма прибыли по акциям определяется как сумма двух показателей:

а) безрисковой ставки

б) уровня инфляции

в) премии за риск

г) ставки рефинансирования

36. Доход по обыкновенным акциям складывается из:

а) дивидендных выплат

б) цены погашения

в) процентных выплат

г) роста курсовой стоимости

37. Если компания не распределяет всю прибыль между акционерами, а направляет её на развитие производства, то показатель прибыли, приходящийся на одну обыкновенную акцию, в будущем будет при прочих равных условиях:

а) расти

б) оставаться без изменения

в) падать

38. Рыночная цена акции выше, чем её внутренняя стоимость. Данная ситуация свидетельствует о том, что эти акции необходимо:

а) покупать

б) продавать

39. Если внутренняя реальная стоимость акции превышает текущий рыночный курс, то такая акция считается:

а) переоцененной

б) недооцененной

в) правильно оцененной

40. Если внутренняя реальная стоимость акции меньше текущего рыночного курса, то такая акция считается:

а) переоцененной

б) недооцененной

в) правильно оцененной

41. Возвратный денежный поток от использования акции включает в себя

а) амортизационные отчисления

б) цена продажи

в) часть чистой прибыли

г) дивиденды

42. Если инвестор предполагает держать акцию достаточно долго, то ее цена зависит от следующих параметров:

а) амортизационных отчислений

б) цены продажи

в) требуемой нормы прибыли

г) размера дивидендных выплат

д) темпа роста дивидендов

е) периода владения акцией

43. Наиболее общей моделью определения цены акций является модель:

а) постоянных дивидендов

б) постоянного роста дивидендов

в) переменного роста дивидендов

г) модель Гордона

44. Если корпорация находится на стадии роста то дивидендные выплаты, как правило:

а) низки

б) имеют тенденцию постоянного роста

в) высоки

г) являются стабильными

45. Если корпорация находится на стадии зрелости то дивидендные выплаты, как правило:

а) низки

б) имеют тенденцию постоянного роста

в) высоки

г) являются стабильными

46. Если корпорация находится на стадии упадка то дивидендные выплаты, как правило:

а) низки

б) имеют тенденцию постоянного роста

в) высоки

г) являются стабильными

д) зависят от ряда факторов

47. Текущая доходность акций зависит от:

а) величины дивидендов

б) рыночной цены акций

в) цены приобретения акций

г) цены продажи

д) числа периодов владения

48. Текущая рыночная доходность акций зависит от:

а) величины дивидендов

б) рыночной цены акций

в) цены приобретения акций

г) цены продажи

д) числа периодов владения

49. Конечная доходность акций зависит от:

а) величины дивидендов

б) рыночной цены акций

в) цены приобретения акций

г) цены продажи

д) числа периодов владения

Тест №3

50. Для измерения риска, связанного с ценными бумагами используются показатели

а) вариации

б) дисперсии

в) ковариации

г) стандартизации

д) стандартного отклонения

51. Доходность ценной бумаги тем выше, чем риск по ней:

а) выше

б) ниже

52. Дисперсия измеряется в тех же единицах, что и результат (в процентах, в денежных единицах и т.д.), но возведенных в квадрат

а) да

б) нет

53. Стандартное отклонение доходности проекта характеризует:

а) доходность проекта

б) риск проекта

в) период окупаемости проекта

54. Средний уровень риска, как правило, имеют следующие ценные бумаги

а) обыкновенные акции

б) корпоративные облигации

в) государственные облигации

55. Несистематический риск является:

а) диверсифицируемым

б) недиверсифицируемым

56. Систематический риск является…

а) недиверсифицируемым

б) диверсифицируемым

57. Несистематический (внутренний) риск инвестирования вызывается следующими причинами

а) военными действиями в стране

б) нерациональной структурой инвестирования предприятия

в) политической нестабильностью

г) неквалифицированным руководством предприятия

д) экономическим спадом в стране

58. Несистематический (внутренний) риск инвестирования в ценные бумаги определяется показателем

а) срок окупаемости

б) индекс рентабельности

в) среднеквадратичное отклонение

г) чистый дисконтированный доход

59. Специфический риск характеризуется признаками

а) определяется внешними событиями, воздействующими на рынок в целом

б) инвестор может повлиять на факторы его возникновения при выборе объектов инвестирования

в) может быть устранен диверсификацией вложений

г) присущ конкретному объекту инвестирования

д) не может быть устранен диверсификацией и эффективным управлением инвестиционным портфелем

60. Снизить инвестиционный риск позволяет

а) диверсификация

б) дисперсия

в) диспансеризация

г) диверсия

61. Показатель взаимосвязи изменения стоимости двух ценных бумаг носит название …

62. Риск портфеля измеряется с помощью показателей

а) ковариация

б) дисперсия

в) диспансеризация

г) корреляция

д) стандартное отклонение

63. Отрицательное значение коэффициента «бета» свидетельствует о том, что цена акции изменяется в направлении:

а) соответствующем направлению движения рынка

б) обратном общему изменению рынка

64. Портфель имеет средний уровень риска, если коэффициент бета

а) меньше 1

б) больше 2

в) равен 1

г) равен 0

д) больше 1

65. Для максимального снижения риска портфеля в него необходимо включать активы, характеризующиеся … ковариацией

а) положительной

б) отрицательной

в) равной 1

г) равной 0

66. Для измерения риска, связанного с отдельной ценной бумагой, используются показатели вариации и стандартной девиации. Для оценки риска портфеля используется показатель…

67. Коэффициент бета измеряет … риск

а) экологический

б) допустимый

в) политический

г) недиверсифицируемый

д) пополняемый

е) несбалансированный

68. В модели Марковица оптимальные портфели должны принадлежать

а) допустимому множеству, составленному из рисковых активов

б) эффективному множеству

в) прямой, касательной области допустимого множества

69. В модели CAPM оптимальные портфели должны принадлежать

а) допустимому множеству, составленному из рисковых активов

б) эффективному множеству

в) прямой, касательной области допустимого множества

1. Для представленных в таблице вкладов рассчитать их будущую стоимость.

2. Для представленных в таблице будущих поступлений рассчитать их текущую стоимость.

3. В банк на сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 10% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 8%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.

4. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.

5. Какую сумму нужно положить на счет в банк, чтобы через 4 года иметь 2000$, при ставке равной 9% годовых?

6. Какой вклад нужно сделать сейчас, чтобы через 3 года получить 23500 рублей, при процентной ставке 14,5% и начислении процентов каждый месяц?

7. Вы положили на сберегательный счет 25000 руб. Процентная ставка равна 7% и проценты начисляются ежеквартально.

1. Какая сумма будет у вас на счете через 3 года, 6 и 9 лет?

2. Какую часть из накопленной суммы составят простые и сложные проценты и основная сумма долга?

8. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20000 рублей сегодня или получить 35000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

9. Через сколько лет на счете в банке будет сумма 8600 рублей, если вклад равен 5400 рублей и процентная ставка 9,75% годовых?

10. Сколько родители должны положить на счет новорожденного ребенка, чтобы при достижении им совершеннолетия он смог бы купить себе мотоцикл стоимостью 100000 руб., если проценты начисляются ежегодно в размере 11% по сложной ставке и уровень инфляции равен 5% в год.

11. Имеется три варианта начисления процентов по средствам, размещенным на депозитном счете банка. По первому варианту начисление процентов осуществляется раз в год по ставке 10%, по второму варианту – ежеквартально по ставке 9,8%, а по третьему – ежемесячно по ставке 9,6%. Определить эффективную годовую процентную ставку по каждому варианту.

12. Какое количество денег инвестор должен положить на счет, чтобы через четыре года иметь на счете 900 тысяч рублей при ставке 10 % годовых?

13. Вы положили на счет 10000 руб., процентная ставка равна 8%. Сколько денег будет на счете через два года, если проценты начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

14. Вы собираетесь в путешествие через три года. Планируемые расходы составляют $3000. Какую сумму необходимо положить на сберегательный счет, если процентная ставка составляет 5%.

15. Номинальная годовая ставка составляет 12% в год. Начисление процентов производится ежеквартально. Найти годовую эффективную ставку.

16. Имеется три варианта начисления процентов по средствам, размещенным на депозитном счете банка. По первому варианту начисление процентов осуществляется раз в год по ставке 11%, по второму варианту ежеквартально по ставке 10,6%, а по третьему – ежемесячно по ставке 10,4%. Определить эффективную годовую процентную ставку по каждому варианту.

17. Номинальная процентная ставка по кредитам в 2005 году составляла 19%, а уровень инфляции – 11%. Найти реальную стоимость кредитных ресурсов, т.е. реальную процентную ставку.

18. Вы в возрасте 30 лет положили на счет 10000 долл. с тем, чтобы снять их со счета не раньше, чем вам исполнится 60 лет. Какая сумма будет у вас на счете, если процентная ставка составляет 10%, а уровень инфляции – 4%? Какова будет реальная стоимость ваших накоплений?

19. Ваш знакомый является владельцем малого предприятия и просит у вас совета. Ему необходимо иметь $5000 через год для приобретения компьютеров и $10000 через два года для покупки технологического оборудования. Какую сумму ему необходимо положить на сберегательный счет сегодня, чтобы обеспечить эти покупки, если процентная ставка равна 6%.

20. Сколько можно взять в банке на покупку квартиры, если ежемесячно семья в состоянии выплачивать 11000 руб. в счет уплаты процентов и возврата основной суммы в течение 10 лет под 18 % годовых?

21. Для покупки квартиры нужно 1500000 руб. Срок кредита 8 лет. Ставка по кредиту 18 % годовых. Какова будет сумма ежемесячного платежа, производимого банку для выплаты процентов и возврата основной суммы?

22. Вам осталось 30 лет до пенсии, и вы надеетесь прожить еще 20 лет после выхода на пенсию. Если вы начнете откладывать деньги начиная с текущего года, то каков будет размер ежегодных пенсионных выплат на каждый рубль ежегодных инвестиций при годовой процентной ставке 8%?

23. Вам осталось 30 лет до пенсии, и вы надеетесь прожить еще 20 лет после выхода на пенсию. Если вы начнете откладывать деньги начиная с текущего года, то каков будет размер ежегодных пенсионных выплат на каждый рубль ежегодных инвестиций при годовой процентной ставке 8%? Какова будет реальная стоимость этих выплат, если уровень инфляции равен 5%.

24. Вы берете кредит в банке в размере 1500 тыс. руб. для приобретения квартиры при условии погашения его равными ежегодными платежами. Срок погашения кредита составляет 3 года, а процентная ставка равна 14%.. Необходимо рассчитать размер ежегодного платежа и составить график погашения кредита. График погашения займа представляется в виде таблицы.

25. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40000 долл. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно осуществляться равными ежеквартальными платежами, включающими погашение основного долга и процентные выплаты. Составить план погашения кредита.

26. Какова текущая стоимость 20-ти ежегодных платежей в размере $500, если они совершаются в конце каждого года и требуемая норма прибыли составляет 9%.

27. Найдите будущую стоимость следующего обычного аннуитета; $800 в год сроком на 5 лет при 12%.

28. Сколько стоит наследство, если по его условиям наследник будет получать 10000$ ежегодно до конца своих дней? Средняя рыночная доходность банковских вкладов 7% годовых.

29. Рассчитать прибыль на акцию, если известны следующие данные. Чистая прибыль равна 1520000 рублей. Дивиденды по привилегированным акциям равны 260000 рублей. Количество обыкновенных акций равно 12000 шт.

30. Рыночная цена облигации равна 200 руб.; ежегодные купонные выплаты равны 15 руб. Определить текущую доходность облигации.

31. Продается облигация номиналом 10000 руб., купонная ставка составляет 12% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается ровно 5 лет. Требуемая норма прибыли инвестора составляет 15%. Определить курсовую цену облигации.

32. Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 5 лет. По облигации выплачивается купонный доход в размере 20% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 930 руб. Определить доходность облигации к погашению (используйте приближенную формулу).

33. Номинальная стоимость облигации 1000 руб.; процентный доход – 8%; рыночная стоимость облигации – 850 руб.; до срока погашения – 10 лет. Инвестор планирует владеть облигацией пять лет; по прогнозу рыночная стоимость облигации возрастет до 900 руб. Определить текущую доходность, доходность к погашению и доходность за период владения.

34. Сколько заплатит инвестор за бессрочную облигацию, если ее купон равен 12%, номинальная стоимость 100000 руб., а требуемая доходность по облигации 16% годовых?

35. На фондовом рынке продаются акции акционерного общества «Альфа». Ожидаемые дивиденды в течение первых 4 лет составляют 200 руб. на акцию. В последующие годы прогнозируются темпы прироста дивидендов — 5% в год. Требуемая норма прибыли на акцию — 10% годовых. Определить цену акции, если инвестор собирается держать акцию неограниченно долго.

36. Определите стоимость акции растущего предприятия при следующих условиях. Размер последнего выплаченного дивиденда равен 400 руб. В течение следующих трех лет прогнозируется рост дивидендов на 15% в год. Далее ожидается переход к среднеотраслевому темпу роста дивидендов 5% в год. Требуемая норма прибыли составляет 20%.

37. На фондовом рынке продаются акции акционерного общества «Альфа». Ожидаемые дивиденды в течение первых 2 лет составляют 100 руб. на акцию. В последующие годы прогнозируются темпы прироста дивидендов — 20% в год. Требуемая норма прибыли на акцию — 15% годовых. Определить цену акции, если инвестор собирается держать акцию неограниченно долго.

38. Определить цену купонной облигации номиналом 2000 руб., до погашения 4 года, купонная ставка 15%, выплата процентов 1 раз в год. Ставка дисконтирования равна 18%.

39. Инвестор приобрел облигацию за 1000 рублей номиналом 1300 рублей. Он планирует владеть ею 3 года и продать ее за 1100 рублей. Купонная ставка равна 12%, выплата процентов 1 раз в год, до погашения облигации осталось 10 лет. Определить текущую, заявленную и реализованную доходность.

40. По облигации номиналом 1000 руб. с купонной ставкой 12% платежи выплачиваются 2 раза в год. Определить цену, если до погашения остается 5 лет, а требуемая норма прибыли равна 16%.

41. Продается облигация номиналом 10000 руб. купонная ставка 12%, требуемая норма прибыли в течении первых двух лет – 15%, в третьем году – 10%, четвертый год – 12%, до погашения 4 года. Определить цену облигации.

42. Выплачиваемый по бессрочной облигации годовой доход составляет 100 руб.; приемлемая рыночная норма дохода – 15%.определите текущую цену этой облигации.

43. Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 3 года. По облигации выплачивается 15% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 920 руб. Определить доходность облигации к погашению.

44. По облигации с номиналом 1000 руб. и сроком погашения 4 года предусмотрен следующий порядок начисления дохода: 1 год – 10%; 2 год – 20%; 3 и 4 год – 25%; требуемая норма прибыли 15%. Определите цену облигации.

37. Инвестор приобрел акцию номиналом 1000 рублей со ставкой дивиденда 27%. На момент покупки ставка банковского процента составила 24%. Определите курсовую цену этой облигации.

45.Облигация имеет номинал 10000 рублей, купонную ставку 10% и срок погашения 10 лет. Определить размер премии (дисконта), если требуемая норма прибыли составляет 12%.

46.Облигация имеет номинал 10000 рублей, купонную ставку 10% и срок погашения 10 лет. Определить размер премии (дисконта), если требуемая норма прибыли составляет 8%.

47. За истекший год дивиденд составил 90 руб. на акцию, темп прироста дивидендов равен 4%, ставка дисконтирования 20%. Определить рыночную стоимость этой акции.

48. Инвестор приобрел облигацию номиналом 15000 рублей за 13000 рублей с купонным доходом – 14%. Срок погашения через 4 года. Через 2 года он решил продать облигацию за 14200 рублей. Определить доходность за период владения.

49. Облигация номиналом 2000 руб. продаётся по цене 1800 руб. Определить купонную и текущую доходность облигации. Процентный доход в размере 16% выплачивается один раз в год.

50. Рассчитать, стоит ли инвестору покупать акцию за 850 руб., если он может вложить деньги в альтернативный инвестиционный проект, обеспечивающий 9% годовых. По прогнозным оценкам стоимость акции увеличится в 2,5 раза через 10 лет.

51. Номинал облигации 1000 рублей. Срок погашения через 4 года. По облигации выплачивается доход в размере 19% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации составляет 940 рублей. Определит доходность облигации к погашению.

52. По привилегированной акции выплачиваются дивиденды в размере 450 рублей. Требуемая норма прибыли 18%. Определить цену акции.